Question

50 БАЛЛОВ!!!!!!! Натуральное число n назовём хорошим, если 2007 при делении на n даёт остаток 15. Сколько существует хороших чисел?

Answer 1

Ответ:

9

Пошаговое объяснение:

Давайте представим 2007 в виде kn + 15. Тогда всего n имеем от 15 (остаток при делении на 1 всегда 0, а на 0 вообще делить нельзя) до какого-то числа, которое надо найти

2007 - 15 = 1992. Различных отличных от 1 делителей у 1992:

24

83

166

249

332

498

664

996

1992

15 штук. Тогда и хороших чисел тоже 9

Answer 2

Для того чтобы найти количество хороших чисел, нужно найти все натуральные числа n, при которых при делении 2007 на n получается остаток 15. Для этого можно воспользоваться делением с остатком.

У нас есть уравнение: 2007 = n * q + 15

где n - искомое натуральное число (хорошее число), q - некоторое целое число, и 15 - остаток.

Мы можем выразить n из этого уравнения: n = (2007 - 15) / q n = 1992 / q

Теперь нам нужно найти все натуральные делители числа 1992, так как n должно быть натуральным числом. Давайте разложим 1992 на простые множители, чтобы найти его делители:

1992 = 2^2 * 3 * 11 * 17

Теперь мы видим, что 1992 разлагается на произведение простых чисел. Делители 1992 могут быть получены путем выбора любой комбинации этих простых множителей с разными степенями. Важно помнить, что мы ищем натуральные делители, поэтому степени множителей должны быть больше или равны нулю.

Таким образом, количество хороших чисел равно количеству делителей числа 1992. Для этого умножим степени всех простых множителей на их соответствующие степени и добавим 1 к каждому из них, а затем перемножим полученные значения. Таким образом:

Варианты для степеней множителей: - Для множителя 2: (2^0, 2^1, 2^2) - 3 варианта - Для множителя 3: (3^0, 3^1) - 2 варианта - Для множителя 11: (11^0, 11^1) - 2 варианта - Для множителя 17: (17^0, 17^1) - 2 варианта

Теперь умножим количество вариантов для каждого множителя: 3 * 2 * 2 * 2 = 24

Итак, существует 24 хороших числа, которые удовлетворяют условию (при делении 2007 на n получается остаток 15).