Question

Допоможіть потрібно знайти екстремуми f(x)=x^3-6x^2-15x+20

Answer 1

Ответ:

$></p><p>Находим критические точки при f'(x)=0</p><p><img src=$

или

$(x-5)(x+1)=0$

Проверяем знак производной на интервалах:

+++++(-1)-----(5)+++++

Если производная меняет знак с "+" на "-", то х=-1 - max.

если с "-" на "+", то х=5 -min

Answer 2

Щоб знайти екстремуми функції f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 20, спочатку треба знайти похідну цієї функції і прирівняти її до нуля. Екстремуми відповідають точкам, де похідна дорівнює нулю або не існує.

Знаходження похідної функції f(x)

Почнемо зі знаходження похідної функції f(x). Похідна функції f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 20 буде:

f'(x) = 3x^2 - 12x - 15

Знаходження точок екстремуму

Тепер прирівняємо похідну f'(x) до нуля і знайдемо значення x, для яких це рівняння виконується:

3x^2 - 12x - 15 = 0

З цього квадратного рівняння ми можемо знайти значення x, використовуючи квадратне рівняння або факторизацію. Давайте використаємо факторизацію:

3x^2 - 12x - 15 = 0 x^2 - 4x - 5 = 0 (x - 5)(x + 1) = 0

Отримали два значення x: x = 5 і x = -1.

Визначення типу екстремуму

Тепер, коли ми знайшли значення x, де похідна рівна нулю, ми можемо визначити тип екстремуму, перевіривши знак похідної в околі цих точок.

Підставимо значення x = 5 в похідну f'(x):

f'(5) = 3(5)^2 - 12(5) - 15 f'(5) = 75 - 60 - 15 f'(5) = 0

Підставимо значення x = -1 в похідну f'(x):

f'(-1) = 3(-1)^2 - 12(-1) - 15 f'(-1) = 3 - (-12) - 15 f'(-1) = 3 + 12 - 15 f'(-1) = 0

Як бачимо, в обох випадках значення похідної рівне нулю. Це означає, що функція має точки екстремуму в x = 5 і x = -1.

Визначення типу екстремуму

Тепер, коли ми знаємо точки екстремуму, можемо визначити, чи є ці точки мінімумами чи максимумами.

Для цього варто розглянути знак другої похідної f''(x). Якщо f''(x) > 0 в точці екстремуму, то це мінімум, якщо f''(x) < 0, то це максимум.

Знаходження другої похідної

Для знаходження другої похідної від f(x), треба взяти похідну від f'(x):

f''(x) = (f'(x))' = (3x^2 - 12x - 15)' = 6x - 12

Визначення типу екстремуму в точках

Тепер підставимо значення x = 5 і x = -1 в другу похідну f''(x):

f''(5) = 6(5) - 12 f''(5) = 30 - 12 f''(5) = 18

f''(-1) = 6(-1) - 12 f''(-1) = -6 - 12 f''(-1) = -18

Як бачимо, f''(5) = 18 > 0, а f''(-1) = -18 < 0. Отже, в точці x = 5 маємо локальний мінімум, а в точці x = -1 - локальний максимум.

Візуалізація функції та екстремумів

Давайте візуалізуємо цю функцію та знайдені екстремуми, щоб краще розуміти їх положення на графіку.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10, 10, 400)
y = x3 - 6*x2 - 15*x + 20

plt.plot(x, y)
plt.scatter([5, -1], [0, 0], color='red', label='Екстремуми')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('Графік функції f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 20')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

На графіку видно, що в точці x = 5 є локальний мінімум (значення функції найменше) і в точці x = -1 є локальний максимум (значення функції найбільше).

Таким чином, функція f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 20 має локальний мінімум в точці x = 5 та локальний максимум в точці x = -1.

Answer 3

Щоб знайти екстремуми функції f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 20, спочатку знайдемо похідну цієї функції і прирівняємо його до нуля. Екстремальні точки відповідають значенням x, для яких похідна рівна нулю.

Уявімо f'(x) як функцію g(x). Похідна функції f(x) дорівнює:

g(x) = f'(x) = 3x^2 - 12x - 15.

Тепер прирівняємо g(x) до нуля:

3x^2 - 12x - 15 = 0.

Щоб розв'язати це рівняння, можна застосувати факторизацію, використовуючи метод розкладу на множники:

3(x^2 - 4x - 5) = 0.

Тепер розв'яжемо рівняння x^2 - 4x - 5 = 0:

(x - 5)(x + 1) = 0.

Отримуємо два значення для x: x = 5 і x = -1. Ці значення вказують на потенційні екстремальні точки.

Тепер перевіримо, чи справді являються ці значення екстремальними точками, або мінімумами/максимумами. Для цього можна застосувати другу похідну функції f(x):

f''(x) = 6x - 12.

Підставимо значення x = 5 і x = -1 у другу похідну:

f''(5) = 6(5) - 12 = 30 - 12 = 18,

f''(-1) = 6(-1) - 12 = -6 - 12 = -18.

Якщо f''(x) > 0, то це значить, що відповідна точка є локальним мінімумом, а якщо f''(x) < 0, то це значить, що відповідна точка є локальним максимумом.

Оскільки f''(5) > 0, то точка x = 5 є локальним мінімумом.

Оскільки f''(-1) < 0, то точка x = -1 є локальним максимумом.

Таким чином, функція f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 20 має локальний мінімум у точці x = 5 і локальний максимум у точці x = -1.