Question

Найдите число корней уравнения 3sin3x+sin9x=cos4x-cos10x на промежутке [0;2pi].

Answer 1

$></p> <p>Проанализировав полученное уравнение, понимаем, что нулю оно равняется в двух случаях: когда первый множитель равен нулю или когда второй множитель равен нулю. </p> <p>С первым все понятно: <img src=$

Теперь рассмотрим второй множитель: $sin7x - cos6x - 2 = 0 => sin7x - cos6x = 2$

Так как функции sin и cos - это ограниченные функции, а именно не превышающие по модулю единицу, то такое равенство возможно тогда и только тогда, когда одновременно sin7x = 1, а cos6x = -1. Решим эти простые уравнения и найдем пересечение корней:

$sin7x = 1 => 7x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z => x = \frac{\pi}{14} + \frac{2\pi}{7} k, k \in Z$

$cos6x = -1 => 6x = \pi + 2\pi m, m \in Z => x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}m, m \in Z$

Теперь приравняем полученные результаты:

$\frac{\pi}{14} + \frac{2\pi}{7} k = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}m |*\frac{42}{\pi}\\ 3 + 12k = 7 + 14m\\12k - 14m = 4\\6k - 7m = 2$

Заметим, что пара чисел k = 5 и m = 4 является решением, а значит, являются решением все числа вида:

$k = 5 + 7p\\m = 4 + 6p\\ p \in Z$

Подставим это в любую серию корней и найдем пересечения (например, в первую):

$> x = x = \frac{\pi}{14} + \frac{2\pi}{7} (5+7p), p \in Z => x = \frac{\pi}{14} + \frac{10\pi}{7} + 2\pi p, p \in Z => x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi p, p \in Z => x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi p, p \in Z$

На промежутке от $[0; 2\pi]$ уравнение имеет 7 корней.

Ответ: 7 корней

Answer 2

Задача на поиск корней уравнения с тригонометрическими функциями, интересно! Давай разбираться. Уравнение: \(3\sin(3x) + \sin(9x) = \cos(4x) - \cos(10x)\) Сначала преобразим его, чтобы выразить все функции через одну, например, синус или косинус. Помним, что \(\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)\). Применим эту формулу: \[3\sin(3x) + \sin(9x) = \cos(4x) - \cos(10x)\] \[3\sin(3x) + \sin(9x) = \cos(4x) - (\cos(4x)\cos(6x) + \sin(4x)\sin(6x))\] Теперь соберем все слагаемые синусов и косинусов в одну часть уравнения: \[3\sin(3x) + \sin(9x) + (\cos(4x)\cos(6x) + \sin(4x)\sin(6x)) - \cos(4x) = 0\] Упростим: \[3\sin(3x) + \sin(9x) + \cos(4x)\cos(6x) + \sin(4x)\sin(6x) - \cos(4x) = 0\] Теперь можно заметить, что у нас есть произведения синусов и косинусов, которые можно выразить через сумму углов. Это поможет упростить уравнение. Помним, что \(\cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2}(\cos(a+b) + \cos(a-b))\) и \(\sin(a)\sin(b) = \frac{1}{2}(\cos(a-b) - \cos(a+b))\). Применим эти формулы: \[3\sin(3x) + \sin(9x) + \frac{1}{2}(\cos(10x) + \cos(2x)) + \frac{1}{2}(\cos(2x) - \cos(10x)) - \cos(4x) = 0\] Теперь сгруппируем слагаемые: \[3\sin(3x) + \sin(9x) + \frac{1}{2}(\cos(2x) + \cos(2x)) - \frac{1}{2}(\cos(10x) + \cos(10x)) - \cos(4x) = 0\] \[3\sin(3x) + \sin(9x) + \cos(2x) - \cos(10x) - \cos(4x) = 0\] Уравнение стало проще. Теперь мы можем попытаться решить его или хотя бы выразить через одну тригонометрическую функцию.