Question

Дан четырехугольник ABCD, в котором AC = BC, ADC = 90◦, ∠BAC = ∠ACD. Докажите, что на отрезке AB можно выбрать точку M так, что ADCM будет прямоугольником

Answer 1

1. Для четырехугольника ABCD, где AC = BC, ADC = 90° и ∠BAC = ∠ACD, рассмотрим отрезок CD.

2. Из подобия треугольников ADC и CAB следует, что CD = AD.

3. Поскольку CD = AD, то при выборе точки M в середине AB, получаемчто все таки ADCM - прямоугольник.

Answer 2

Вот подробный ответ на ваш вопрос:

Дан четырехугольник ABCD, в котором AC = BC, ADC = 90◦, ∠BAC = ∠ACD. Докажите, что на отрезке AB можно выбрать точку M так, что ADCM будет прямоугольником.

Решение:

Пусть O - точка пересечения диагоналей AC и BD. Тогда треугольники AOC и BOC равны по двум сторонам и углу между ними (AC = BC, OC - общая сторона, ∠AOC = ∠BOC = 180° - ∠BAC - ∠ACD). Следовательно, ∠AOD = ∠BOD.

Проведем из точки O перпендикуляр к стороне AD и обозначим его пересечение с AD за M. Тогда ∠ADM = 90° - ∠AOD = 90° - ∠BOD = ∠DCM. Значит, четырехугольник ADCM - прямоугольник, так как имеет два смежных прямых угла и две параллельные стороны (AD || CM).

Ответ: на отрезке AB можно выбрать точку M так, что ADCM будет прямоугольником. Точка M - это проекция точки O на сторону AD.

Источник: [Решения задач - MCCME](https://olympiads.mccme.ru/ustn/resh21ge.pdf)