Question

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми: x + y = 1, x + 3y = 1, x = y, x = 2y.

Answer 1

Область ограничена прямыми  $y=1-x\; ,\; y=\frac{1-x}{3}\; ,\; y=x\; ,\; y=\frac{x}{2}$  .

Найдём точки пересечения и разобьём область на сумму простейших областей.

$a)\; \; \frac{1-x}{3}=x\; \; ,\; \; 1-x=3x\; ,\; \; 4x=1\; \; ,\; \; x=\frac{1}{4}=0,25\\\\b)\; \; \frac{x}{2}=1-x\; \; ,\; \; x=2-2x\; \; ,\; \; 3x=2\; \; ,\; \; x=\frac{2}{3}\\\\c)\; \; x=1-x\; \; ,\; \; 2x=1\; \; ,\; \; x=\frac{1}{2}=0,5\\\\d)\; \; \frac{1-x}{3}=\frac{x}{2}\; \; ,\; \; 2-2x=3x\; \; ,\; \; 5x=2\; \; ,\; \; x=\frac{2}{5}=0,4$

$S=\int\limits^{2/5}_{1/4}\, (x-\frac{1-x}{3})\, dx+\int\limits^{1/2}_{2/5}\, (x-\frac{x}{2})\, dx+\int\limits^{2/3}_{1/2}\, (1-x-\frac{x}{2})\, dx=\\\\\\=\int\limits^{2/5}_{1/4}\, (\frac{4x}{3}-\frac{1}{3})\, dx+\int\limits_{2/5}^{1/2}\, \frac{x}{2}\, dx+\int\limits^{2/3}_{1/2}\,(1-\frac{3x}{2})\, dx=\\\\\\=(\frac{2x^2}{3}-\frac{x}{3})\Big|_{1/4}^{2/5}+\frac{x^2}{4}\Big|_{2/5}^{1/2}+(x-\frac{3x^2}{4})\Big|_{1/2}^{2/3}=$

$=(\frac{2\cdot 4}{3\cdot 25}-\frac{2}{15}-\frac{2}{3\cdot 16}+\frac{1}{12})+(\frac{1}{16}-\frac{1}{25})+(\frac{2}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{3}{16})=\\\\=\frac{3}{200}+\frac{9}{400}+\frac{1}{48}=\frac{7}{120}$

$P.S.\; \; S=\iint \limits _{D_1}dx\, dy+\iint \limits_{D_2}dx\, dy+\iint \limits _{D_3}dx\, dy=\\\\\\=\int \limits _{1/4}^{2/5}\, dx\int\limits^{x}_{\frac{1-x}{3}}\, dy+\int\limits_{2/5}^{1/2}\, dx\int\limits^{x}_ {x/2}\, dy+\int\limits^{2/3}_{1/2}\, dx\int\limits_{x/2}^ {1-x}\, dy=$

$=\int\limits^{2/5}_{1/4}\, (x-\frac{1-x}{3})\, dx+\int\limits^{1/2}_{2/5}\, (x-\frac{x}{2})\, dx+\int\limits^{2/3}_{1/2}\, (1-x-\frac{x}{2})\, dx=\\\\\\=\int\limits^{2/5}_{1/4}\, (\frac{4x}{3}-\frac{1}{3})\, dx+\int\limits_{2/5}^{1/2}\, \frac{x}{2}\, dx+\int\limits^{2/3}_{1/2}\,(1-\frac{3x}{2})\, dx=\\\\\\=(\frac{2x^2}{3}-\frac{x}{3})\Big|_{1/4}^{2/5}+\frac{x^2}{4}\Big|_{2/5}^{1/2}+(x-\frac{3x^2}{4})\Big|_{1/2}^{2/3}=...=\frac{7}{120}$

Answer 2

Ответ:

с помощью интегралов, если в вычислениях не ошибся

Пошаговое объяснение:

Answer 3

Для нахождения площади плоской фигуры, ограниченной кривыми, сначала нужно найти точки их пересечения. Затем можно использовать интегралы для расчета площади между кривыми. Давайте начнем с поиска точек пересечения этих кривых: 1. $x + y = 1$ 2. $x + 3y = 1$ 3. $x = y$ 4. $x = 2y$ Для нахождения точек пересечения, мы можем решить системы уравнений. Начнем с первой и второй кривых: Сначала выразим $x$ из обоих уравнений: 1. $x = 1 - y$ 2. $x = 1 - 3y$ Теперь приравняем эти два выражения: $1 - y = 1 - 3y$ Теперь решим это уравнение относительно $y$: $2y = 0$ $y = 0$ Теперь, найдем соответствующее значение $x$: $x = 1 - y = 1 - 0 = 1$ Таким образом, точка пересечения первой и второй кривых - (1, 0). Теперь давайте найдем точку пересечения первой и третьей кривых: 1. $x + y = 1$ 3. $x = y$ Соединим эти два уравнения: $y + y = 1$ $2y = 1$ $y = 1/2$ Теперь найдем значение $x$: $x = y = 1/2$ Таким образом, точка пересечения первой и третьей кривых - (1/2, 1/2). Теперь давайте найдем точку пересечения второй и четвертой кривых: 2. $x + 3y = 1$ 4. $x = 2y$ Сначала выразим $x$ из обоих уравнений: 2. $x = 1 - 3y$ 4. $x = 2y$ Теперь приравняем эти два выражения: $1 - 3y = 2y$ Решим это уравнение относительно $y$: $1 = 5y$ $y = 1/5$ Теперь найдем значение $x$: $x = 2y = 2 * (1/5) = 2/5$ Таким образом, точка пересечения второй и четвертой кривых - (2/5, 1/5). Теперь у нас есть три точки пересечения: (1, 0), (1/2, 1/2), и (2/5, 1/5). Мы можем использовать интегралы для нахождения площади фигуры, ограниченной этими кривыми. Площадь фигуры можно найти как интеграл от верхней кривой до нижней кривой по заданному диапазону x, то есть: $A = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx$ где $f(x)$ - верхняя кривая, $g(x)$ - нижняя кривая, а $a$ и $b$ - пределы интегрирования по оси x. Ваш диапазон x будет между точками пересечения, то есть от $x = 1/5$ до $x = 1$. Теперь нужно определить верхнюю и нижнюю кривые для каждого значения x в этом диапазоне. Мы видим, что: - Для $1/5 \leq x \leq 1/2$, верхняя кривая - $x + 3y = 1$, нижняя кривая - $x = 2y$. - Для $1/2 \leq x \leq 1$, верхняя кривая - $x + y = 1$, нижняя кривая - $x = y$. Теперь мы можем записать интегралы для каждого из этих интервалов и сложить их: $A = \int_{1/5}^{1/2} ((1 - 3y) - 2y) dx + \int_{1/2}^{1} ((1 - y) - y) dx$ Теперь рассчитаем каждый из этих интегралов: 1. $\int_{1/5}^{1/2} ((1 - 3y) - 2y) dx$ Раскроем скобки: $= \int_{1/5}^{1/2} (1 - 3y - 2y) dx$ Упростим: $= \int_{1/5}^{1/2} (1 - 5y) dx$ Теперь возьмем интеграл по $x$: $= \left[x - 5y\frac{x^2}{2}\right]_{1/5}^{1/2}$ Подставим верхний и нижний пределы: $= \left(\frac{1}{2} - 5\left(\frac{1}{5}\right)\left(\frac{1}{4}\right)\right) - \left(\frac{1}{5} - 5\left(\frac{1}{5}\right)\left(\frac{1}{25}\right)\right)$ Упростим: $= \left(\frac{1}{2} - \frac{5}{20}\right) - \left(\frac{1}{5} - \frac{5}{125}\right)$ $= \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right