Question

Найти дифференциал функции y=x*x+y*y+x*y

Answer 1

$y=x^2+y^2+xy$

Продифференцируем обе части уравнения:

$y'=2x+2yy'+y+xy'\\y'-2yy'-xy'=2x+y\\y'(1-2y-x)=2x+y\\y'=\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2x+y}{1-2y-x}\\dy=\dfrac{(2x+y)\, dx}{1-2y-x}$

Answer 2

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение в этой точке можно представить в виде ∆y=A∆x + α(∆x)∆x, где A – константа, а α(∆x) – бесконечно малая при ∆x → 0.  

Требование дифференцируемости функции в точке эквивалентно существованию производной в этой точке, причем A=f’(x0).

Пусть f(x) дифференцируема в точке x0 и f '(x0)≠0, тогда ∆y=f’(x0)∆x + α∆x, где α= α(∆x) →0 при ∆x→0. Величина ∆y и каждое слагаемое правой части являются бесконечно малыми величинами при ∆x→0. Сравним их: , то есть α(∆x)∆x – бесконечно малая более высокого порядка, чем f’(x0)∆x.  

, то есть ∆y~f’(x0)∆x. Следовательно, f’(x0)∆x представляет собой главную и вместе с тем линейную относительно ∆x часть приращения ∆y (линейная – значит содержащая ∆x в первой степени). Это слагаемое называют дифференциалом функции y=f(x) в точке x0 и обозначают dy(x0) или df(x0). Итак, для произвольных значений x  

dy=f′(x)∆x. (1)  

Полагают dx=∆x, тогда  

dy=f′(x)dx. (2)

Answer 3

Для нахождения дифференциала функции \(y = x^2 + y^2 + xy\), мы будем использовать дифференциальное исчисление. Дифференциал функции \(dy\) можно представить в виде: \[dy = \frac{\partial y}{\partial x}dx + \frac{\partial y}{\partial y}dy\] Где \(\frac{\partial y}{\partial x}\) представляет собой частную производную функции \(y\) по \(x\), а \(\frac{\partial y}{\partial y}\) - частную производную функции \(y\) по \(y\). Давайте найдем эти частные производные: 1. \(\frac{\partial y}{\partial x}\): Берем производную \(y\) по \(x\): \(\frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2 + xy) = 2x + \frac{\partial}{\partial x}(y^2) + \frac{\partial}{\partial x}(xy)\) \(\frac{\partial}{\partial x}(y^2)\) и \(\frac{\partial}{\partial x}(xy)\) равны нулю, так как \(y\) - это независимая переменная. Поэтому: \(\frac{\partial y}{\partial x} = 2x\) 2. \(\frac{\partial y}{\partial y}\): Берем производную \(y\) по \(y\): \(\frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2 + xy) = \frac{\partial}{\partial y}(x^2) + \frac{\partial}{\partial y}(y^2) + \frac{\partial}{\partial y}(xy)\) Аналогично, \(\frac{\partial}{\partial y}(x^2)\) и \(\frac{\partial}{\partial y}(xy)\) равны нулю, так как они не зависят от \(y\). Тогда: \(\frac{\partial y}{\partial y} = 2y\) Теперь мы можем записать дифференциал \(dy\) следующим образом: \[dy = 2xdx + 2ydy\] Это выражение представляет собой дифференциал функции \(y\) в зависимости от \(x\) и \(y\).