Question

Найти экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции у=f(x) на отрезке [а,b]. Найти точку перегиба графика функции, интервалы вогнутости1) f(x)=x^3-12x+7 [0,3]

Answer 1

Во вложении дан полный ответ на задание.

Дополнительно:  наибольшее и наименьшее значения функции у=f(x) на отрезке [0; 3].

На этом отрезке находится минимум функции при х = 2, у = -9.

На этом отрезке такие значения:

  х          у

 0        7

2.0       -9

3.0       -2.

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции на отрезке [a, b] необходимо сначала найти ее производную и приравнять ее к нулю: f'(x) = 3x^2 - 12 = 0 Решая это уравнение, получим две точки, в которых производная функции равна нулю: x^2 - 4 = 0 (x - 2)(x + 2) = 0 x1 = -2, x2 = 2 Подставим найденные значения x в исходную функцию f(x) для нахождения соответствующих y-координат: f(-2) = (-2)^3 - 12(-2) + 7 = -8 + 24 + 7 = 23 f(2) = 2^3 - 12(2) + 7 = 8 - 24 + 7 = -9 Таким образом, на отрезке [0,3] функция f(x) достигает наибольшего значения 23 в точке x = -2 и наименьшего значения -9 в точке x = 2. Для поиска точки перегиба графика функции необходимо найти вторую производную и приравнять ее к нулю: f''(x) = 6x Приравняем f''(x) к нулю и найдем x: 6x = 0 x = 0 Точка перегиба графика функции f(x) находится при x = 0. Чтобы найти интервалы вогнутости, анализируем знак второй производной f''(x): При x < 0, f''(x) < 0, следовательно, функция вогнута в интервале (-∞, 0). При x > 0, f''(x) > 0, функция выпукла в интервале (0, +∞). Таким образом, график функции f(x) вогнут в интервале (-∞, 0) и выпукл в интервале (0, +∞).