Question

Если свиток ткани разрезать на части по 6 м, то останется отрез длиной 5 м. Если же этот свиток разрезать на части по 8 м, то останется отрез длиной 3 м. Какое из следующих чисел может выражать длину (в м) этого свитка?

Answer 1

Пусть количество кусков при раскрое по 6 м - а,
количество кусков при раскрое по 8 м - b.
Тогда:
               6а + 5 = 8b + 3
               8b - 6a = 2
               4b - 3a = 1

Очевидно, что первая пара чисел: а = 1, b = 1.
В этом случае длина рулона ткани: 6*1+5 = 8*1+3 = 11 (м)
Если в качестве а и b брать только целые числа,
то количество 6-метровых кусков кратно 1 + 4n,
    количество 8-метровых кусков кратно 1 + 3n, где n∈N.
Примеры возможных значений а, b и длины рулона L (м):

   a = 1        a = 5       a = 9      a = 13     a = 17      a = 21 
   b = 1        b = 4       b = 7      b = 10     b = 13      b = 16
   L = 11      L = 35     L = 59     L = 83    L = 107    L = 131

Answer 2

Пусть x - длина этого свитка. Тогда по условию задачи у нас имеются два уравнения: x ≡ 5 (mod 6) x ≡ 3 (mod 8) Для решения этих уравнений воспользуемся китайской теоремой об остатках. Рассмотрим первое уравнение. Можно заметить, что числа 5 и 6 взаимно просты, поэтому у него есть решение. Пусть это решение равно a. Тогда, мы можем записать первое уравнение в виде: x = 6k + 5, где k - целое число Теперь подставим этот результат во второе уравнение: 6k + 5 ≡ 3 (mod 8) Для того, чтобы решить это уравнение относительно k, можно начать перебирать значения k и проверять, какое из них удовлетворяет условию. Заметим, что 6k + 5 должно быть кратно 8 и оставаться 3 в остатке при делении на 8. Подсчитаем некоторые значения и проверим: При k = 0, 6k + 5 = 5, 5 ≡ 3 (mod 8) - не удовлетворяет условию. При k = 1, 6k + 5 = 11, 11 ≡ 3 (mod 8) - не удовлетворяет условию. При k = 2, 6k + 5 = 17, 17 ≡ 1 (mod 8) - не удовлетворяет условию. При k = 3, 6k + 5 = 23, 23 ≡ 7 (mod 8) - не удовлетворяет условию. При k = 4, 6k + 5 = 29, 29 ≡ 5 (mod 8) - удовлетворяет условию. Получили, что k = 4 является решением второго уравнения. Теперь можем определить длину свитка: x = 6 * 4 + 5 = 29 м. Таким образом, из представленных чисел только 29 может выражать длину этого свитка.