Question

Задана функция f(x)=x^3-3x^2-24x-28 Найти экстремумы и точки перегиба.(график тоже нужен)Помогите, пожалуйста.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$f(x)=x^3-3x^2-24x-28\\D(f)=\mathbb{R}\\f'(x)=3x^2-6x-24\\f'(x)=0\\3x^2-6x-24=0\bigg|:3\\x^2-2x-8=0\\\left[\begin{gathered}x=-2\\x=4\\\end{gathered}\right.$

Методом интервалов находим, что

$f'(x):+ - +$

Находим, что

$x_{\max}=-2;\;x_{\min}=4$

$y_{\max}(x_{\max})=y_{\max}(-2)=0\\y_{\min}(x_{\min})=y_{\min}(-4)=-108$

Находим точки перегиба, для этого:

$f''(x)=(f'(x))'=6x-6\\f''(x)=0\\6x-6=0\\x=1$

График функции выгнут $\large \cap$ при $x\in(-\infty;1)$

График функции вогнут $\large \cup$ при $x\in(1;+\infty)$

Answer 2

Конечно, помогу разобраться! Давай разберемся с функцией \( f(x) = x^3 - 3x^2 - 24x - 28 \).

1. Найдем экстремумы: Для нахождения экстремумов найдем производную функции и приравняем ее к нулю: \[ f'(x) = 3x^2 - 6x - 24 \]

Теперь решим уравнение \( f'(x) = 0 \) для нахождения критических точек. Мы можем разложить выражение на множители: \[ 3x^2 - 6x - 24 = 3(x^2 - 2x - 8) \] \[ 3(x + 2)(x - 4) = 0 \]

Отсюда получаем две критические точки: \( x = -2 \) и \( x = 4 \).

Теперь найдем значения функции в этих точках, подставив их в \( f(x) \): \[ f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 24(-2) - 28 = -20 \] \[ f(4) = 4^3 - 3 \cdot 4^2 - 24 \cdot 4 - 28 = -20 \]

Таким образом, у нас есть две критические точки: \((-2, -20)\) и \((4, -20)\).

2. Найдем точки перегиба: Точки перегиба соответствуют значениям \( x \), при которых вторая производная равна нулю или не существует. Найдем вторую производную: \[ f''(x) = 6x - 6 \]

Приравняем ее к нулю и решим уравнение: \[ 6x - 6 = 0 \] \[ x = 1 \]

Таким образом, у нас есть одна точка перегиба при \( x = 1 \).

3. Построим график: Теперь построим график функции с учетом найденных точек. Жаль, что я не могу нарисовать график здесь, но ты можешь использовать графические программы или калькуляторы с функцией построения графиков, чтобы визуализировать функцию и найденные точки.

Вот как можно представить график в текстовой форме:

- График пересекает ось X в точках \( x = -2 \), \( x = 1 \) и \( x = 4 \). - Экстремумы находятся в точках \((-2, -20)\) и \((4, -20)\). - Точка перегиба находится при \( x = 1 \).

Надеюсь, это помогло! Если у тебя есть еще вопросы или что-то неясно, дай знать.