Question

Определить сходимость/расходимость ряда (ln n)/n^7. С решением.

Answer 1

$∑_{n=2}^{∞}\frac{㏑(n)}{n^{7}}$.

Известно, что $㏑(x) ≤ x ∀x > 0$, так что $\frac{㏑(n)}{n^{7}} ≤ \frac{n}{n^{7}} = \frac{1}{n^{6}}, так что если [tex]∑_{n=2}^{∞}\frac{1}{n^{6}}$ сходится, то и $∑_{n=2}^{∞}\frac{㏑(n)}{n^{7}}$ сходится.

Ряд $∑_{n=1}^{∞}\frac{1}{n^{p}}$ сходится, когда p > 1, значит $∑_{n=2}^{∞}\frac{1}{n^{6}}$ сходится, отсюда и исходный ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

Answer 2

Для определения сходимости или расходимости ряда \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n + n}{n^7} \) воспользуемся признаком Даламбера.

Признак Даламбера заключается в определении предела отношения двух последовательных членов ряда:

\[ D_n = \lim_{{n \to \infty}} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \]

где \( a_n \) - n-ый член ряда.

В нашем случае, \( a_n = \frac{\ln n + n}{n^7} \), поэтому:

\[ D_n = \lim_{{n \to \infty}} \left| \frac{\frac{\ln (n+1) + (n+1)}{(n+1)^7}}{\frac{\ln n + n}{n^7}} \right| \]

\[ D_n = \lim_{{n \to \infty}} \left| \frac{\ln (n+1) + (n+1)}{n^7} \cdot \frac{n^7}{\ln n + n} \right| \]

Упростим выражение под действием предела:

\[ D_n = \lim_{{n \to \infty}} \left| \frac{n^8 + n^7 \ln (n+1)}{n^7 \ln n + n^8} \right| \]

\[ D_n = \lim_{{n \to \infty}} \left| \frac{n^7 (n + \ln (n+1))}{n^7 (\ln n + \frac{n^8}{n^7})} \right| \]

\[ D_n = \lim_{{n \to \infty}} \left| \frac{n + \ln (n+1)}{\ln n + \frac{n^8}{n^7}} \right| \]

Теперь вынесем наиболее растущую функцию из числителя и знаменателя:

\[ D_n =\lim_{{n \to \infty}} \left| \frac{n \left( 1 + \frac{\ln (n+1)}{n} \right)}{\ln n \left( 1 + \frac{n^8}{n^7 \ln n} \right)} \right| \]

\[ D_n =\lim_{{n \to \infty}} \left| \frac{n \left( 1 + \frac{\ln (n+1)}{n} \right)}{\ln n \left( 1 + \frac{n}{\ln n} \right)} \right| \]

После этого можно устранить бесконечности и инфинитезимальные значения:

\[ D_n = \left| \lim_{{n \to \infty}} \frac{\ln (n+1)}{\ln n} \right| \]

\[ D_n = \left| \lim_{{n \to \infty}} \frac{\ln n + \ln \left(1 + \frac{1}{n}\right)}{\ln n} \right| \]

\[ D_n = \left| \lim_{{n \to \infty}} \left(1 + \frac{\ln \left(1 + \frac{1}{n}\right)}{\ln n}\right) \right| \]

Так как \(\lim_{{n \to \infty}} \frac{\ln \left(1 + \frac{1}{n}\right)}{\ln n} = 0\), то предел при \(\n \to \infty\) равен 1.

Таким образом, \(D_n = 1\).

По признаку Даламбера, если \(D_n\) равен 1, то признак не дает информации о сходимости ряда.

Для более точного определения сходимости или расходимости данного ряда можно воспользоваться другим признаком. Например, признаком интеграла или признаком сравнения.