Question

Статистика. Нужно доказать одно выражение с суммой сочетаний, само выражение: C из n по 0 + С из n по 1+ С из n по 2 и т. д. до + С из n по n =2 в n- ой степени. Вот нужно доказать, что сумма сочетаний равна этому.

Answer 1

Ответ:

2^n

Пошаговое объяснение:

Давайте докажем это равенство методом индукции.

Предположим, что данное равенство верно для некоторого целого числа n = k, т.е.:

C(k, 0) + C(k, 1) + C(k, 2) + ... + C(k, k) = 2^k

Теперь докажем, что оно также верно для n = k + 1. Для этого давайте рассмотрим выражение для n = k + 1:

C(k+1, 0) + C(k+1, 1) + C(k+1, 2) + ... + C(k+1, k+1)

Мы можем воспользоваться формулой для вычисления биномиальных коэффициентов:

C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)

Используя эту формулу, мы можем переписать каждый из биномиальных коэффициентов в выражении для n = k + 1:

C(k+1, 0) = C(k, 0) + C(k, -1) = C(k, 0) (поскольку C(k, -1) = 0)

C(k+1, 1) = C(k, 0) + C(k, 1)

C(k+1, 2) = C(k, 1) + C(k, 2)

И так далее. Теперь мы можем переписать выражение для n = k + 1 следующим образом:

C(k+1, 0) + C(k+1, 1) + C(k+1, 2) + ... + C(k+1, k+1) = (C(k, 0) + C(k, 0)) + (C(k, 0) + C(k, 1)) + (C(k, 1) + C(k, 2)) + ... + (C(k, k) + C(k, k+1))

Заметьте, что в каждой скобке второй член равен следующему члену в предыдущей скобке, за исключением последней скобки, где второй член равен нулю (поскольку C(k, k+1) = 0). Теперь мы можем сгруппировать члены и получим:

2*(C(k, 0) + C(k, 1) + C(k, 2) + ... + C(k, k))

Из предположения индукции мы знаем, что C(k, 0) + C(k, 1) + C(k, 2) + ... + C(k, k) = 2^k. Подставляем это значение в наше выражение:

2*(2^k) = 2^(k+1)

Таким образом, мы доказали, что если равенство выполняется для n = k, то оно также выполняется для n = k + 1. Это завершает доказательство методом индукции, и мы показали, что:

C(0, 0) + C(1, 0) + C(2, 0) + ... + C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + ... + C(n, n) = 2^n

Answer 2

Привет! Я понимаю, что ты хочешь доказать равенство суммы сочетаний C из n по 0, C из n по 1, C из n по 2 и так далее, до C из n по n, равно 2 в степени n. Давай разберемся в этом.

Для начала, давай вспомним, что такое сочетание. Сочетание из n по k (обозначается как C из n по k) представляет собой количество способов выбрать k элементов из множества из n элементов, без учета порядка.

Теперь, давай разберемся с левой стороной выражения. Сумма сочетаний C из n по 0, C из n по 1, C из n по 2 и так далее до C из n по n, может быть записана как:

C из n по 0 + C из n по 1 + C из n по 2 + ... + C из n по n

Теперь давай вспомним, что формула для вычисления сочетания C из n по k равна:

C из n по k = n! / (k! * (n-k)!)

где "!" обозначает факториал. Факториал числа n обозначается как n! и представляет собой произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

Теперь, давай заменим значения сочетаний в нашем выражении:

C из n по 0 + C из n по 1 + C из n по 2 + ... + C из n по n = n! / (0! * (n-0)!) + n! / (1! * (n-1)!) + n! / (2! * (n-2)!) + ... + n! / (n! * (n-n)!)

Теперь, давай упростим выражение. Заметим, что 0! равно 1, и n! / n! равно 1. Также, n! / (n-0)! равно n!.

Таким образом, наше выражение становится:

n! + n! / (1! * (n-1)!) + n! / (2! * (n-2)!) + ... + n! / (n! * (n-n)!)

Теперь, давай сгруппируем подобные слагаемые. Заметим, что каждое слагаемое можно записать в виде:

n! / (k! * (n-k)!) = n! / (k! * (n-k)!) * (n-k)! / (n-k)!

Теперь, давай упростим это выражение:

n! / (k! * (n-k)!) * (n-k)! / (n-k)! = n! / (k! * (n-k)!) * 1 = n! / (k! * (n-k)!)

Таким образом, наше выражение становится:

n! / (0! * (n-0)!) + n! / (1! * (n-1)!) + n! / (2! * (n-2)!) + ... + n! / (n! * (n-n)!) = n! / (0! * (n-0)!) + n! / (1! * (n-1)!) + n! / (2! * (n-2)!) + ... + n! / (n! * (n-n)!) = n! / (0! * n!) + n! / (1! * (n-1)!) + n! / (2! * (n-2)!) + ... + n! / (n! * 0!)

Теперь, заметим, что 0! равно 1, и n! / n! равно 1. Также, n! / (n! * 0!) равно n!.

Таким образом, наше выражение становится:

1 + 1 + 1 + ... + 1 (n раз) = n

Таким образом, мы доказали, что сумма сочетаний C из n по 0, C из n по 1, C из n по 2 и так далее до C из n по n, равна n.

Надеюсь, это помогло! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать.