Question

Знайти частинні похідні першого і другого порядків від заданих функцій. z = sin³(2x+3y) срочно

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Щоб знайти частинні похідні першого та другого порядку від функції z = sin³(2x+3y), нам потрібно використовувати правила похідних.

Частинна похідна першого порядку відносно змінної x обчислюється, тримаючи y як константу та диференціюючи відповідно до x. Аналогічно, частинна похідна першого порядку відносно змінної y обчислюється, тримаючи x як константу та диференціюючи відповідно до y.

Почнемо з обчислення частинних похідних першого порядку:

∂z/∂x = 3sin²(2x+3y) * 2

∂z/∂x = 6sin²(2x+3y)

∂z/∂y = 3sin²(2x+3y) * 3

∂z/∂y = 9sin²(2x+3y)

Тепер продовжимо і обчислимо частинні похідні другого порядку:

∂²z/∂x² = d/dx (6sin²(2x+3y))

∂²z/∂x² = 12sin(2x+3y)cos(2x+3y)

∂²z/∂y² = d/dy (9sin²(2x+3y))

∂²z/∂y² = 18sin(2x+3y)cos(2x+3y)

Це є частинні похідні першого та другого порядку функції z = sin³(2x+3y) відносно змінних x та y.

Answer 2

Для знаходження частинних похідних першого порядку з функції z = sin³(2x+3y) необхідно взяти похідну за кожною змінною окремо, залишаючи іншу змінну незмінною.

Почнемо з частинної похідної за змінною x: ∂z/∂x = 3sin²(2x+3y) * (d/dx(2x+3y))

Далі візьмемо похідну (d/dx(2x+3y)): (d/dx(2x+3y)) = 2

Підставимо цей результат у попереднє рівняння: ∂z/∂x = 3sin²(2x+3y) * 2

Або звести до більш простої форми: ∂z/∂x = 6sin²(2x+3y)

Тепер знайдемо частинну похідну за змінною y: ∂z/∂y = 3sin²(2x+3y) * (d/dy(2x+3y))

Знову візьмемо похідну (d/dy(2x+3y)): (d/dy(2x+3y)) = 3

Підставимо цей результат у попереднє рівняння: ∂z/∂y = 3sin²(2x+3y) * 3

Або звести до більш простої форми: ∂z/∂y = 9sin²(2x+3y)

Перейдемо до знаходження частинних похідних другого порядку.

Почнемо з частинної похідної ∂²z/∂x²: ∂²z/∂x² = (d/dx(∂z/∂x))

Відповідно до обчислень, які ми вже провели, ∂z/∂x = 6sin²(2x+3y). Тому: ∂²z/∂x² = d/dx(6sin²(2x+3y))

Знову виконаємо похідну: (d/dx(6sin²(2x+3y))) = 12sin(2x+3y) * (d/dx(2x+3y))

(d/dx(2x+3y)) = 2

Підставимо цей результат у попереднє рівняння: ∂²z/∂x² = 12sin(2x+3y) * 2

Або звести до більш простої форми: ∂²z/∂x² = 24sin(2x+3y)

Аналогічно можна знайти частинну похідну ∂²z/∂y²: ∂²z/∂y² = (d/dy(∂z/∂y))

Відповідно до обчислень, які ми вже провели, ∂z/∂y = 9sin²(2x+3y). Тому: ∂²z/∂y² = d/dy(9sin²(2x+3y))

Знову виконаємо похідну: (d/dy(9sin²(2x+3y))) = 18sin(2x+3y) * (d/dy(2x+3y))

(d/dy(2x+3y)) = 3

Підставимо цей результат у попереднє рівняння: ∂²z/∂y² = 18sin(2x+3y) * 3

Або звести до більш простої форми: ∂²z/∂y² = 54sin(2x+3y)

Таким чином, отримали частинні похідні першого і другого порядку від заданої функції z = sin³(2x+3y):

∂z/∂x = 6sin²(2x+3y) ∂z/∂y = 9sin²(2x+3y) ∂²z/∂x² = 24sin(2x+3y) ∂²z/∂y² = 54sin(2x+3y)