Question

Решите неравенство 3ctg2x больше или равно 2

Answer 1

Думаю будет так........

Answer 2

Для решения неравенства 3ctg(2x) ≥ 2, мы сначала должны выразить ctg(2x) в терминах x.

Так как ctg(2x) = 1/tan(2x), мы можем переписать неравенство в следующем виде:

3/tan(2x) ≥ 2

Затем, чтобы избавиться от дроби, мы можем умножить обе стороны неравенства на tan(2x):

3 ≥ 2tan(2x)

Далее, чтобы избавиться от функции тангенса и выразить ее в терминах синуса и косинуса, мы можем использовать следующие тригонометрические идентичности:

tan(2x) = sin(2x)/cos(2x) = 2sin(x)cos(x)/(cos^2(x) - sin^2(x))

Подставляя это обратно в неравенство, получаем:

3 ≥ 2(2sin(x)cos(x))/(cos^2(x) - sin^2(x))

Разделим числитель и знаменатель правой стороны дроби на cos^2(x):

3 ≥ 4sin(x)cos(x)/(cos^2(x) - sin^2(x)) * (cos^2(x)/cos^2(x))

Это преобразуется в:

3 ≥ 4sin(x)cos(x)/cos^2(x) * (cos^2(x)/(cos^2(x) - sin^2(x)))

Упрощая, получаем:

3 ≥ 4tan(x)/(1 - tan^2(x))

Теперь у нас имеется квадратичное неравенство, которое можно решить путем анализа знаков.

Обратите внимание, что знаменатель (1 - tan^2(x)) не может быть равен нулю, так как tan^2(x) + 1 = sec^2(x), и sec^2(x) не может быть нулевым.

Исследуем знаки числителя и знаменателя отдельно:

Числитель: 4tan(x) Знаменатель: 1 - tan^2(x)

Числитель равен нулю при tan(x) = 0.

Знаменатель равен нулю, когда:

1 - tan^2(x) = 0 tan^2(x) = 1 tan(x) = ±1

Поскольку tan(x) не может быть равным ±1, знаменатель (1 - tan^2(x)) всегда положителен.

Теперь рассмотрим знаки числителя 4tan(x) в зависимости от знака tan(x):

Если tan(x) > 0, то 4tan(x) > 0. Если tan(x) < 0, то 4tan(x) < 0.

Следовательно, мы можем записать неравенство следующим образом:

3 ≥ 4tan(x)/(1 - tan^2(x))

1) Если tan(x) > 0, то 3 ≥ 4tan(x)/(1 - tan^2(x)) Решим это неравенство: 3(1 - tan^2(x)) ≥ 4tan(x) 3 - 3tan^2(x) ≥ 4tan(x) 3tan^2(x) + 4tan(x) - 3 ≤ 0 Далее, мы можем решить это квадратное неравенство, используя метод интервалов или факторизацию квадратного выражения. Решение этого квадратного неравенства даст интервалы значений x, удовлетворяющие неравенству для данного случая.

2) Если tan(x) < 0, то 3 ≥ 4tan(x)/(1 - tan^2(x)) Решим это неравенство: 3(1 - tan^2(x)) ≥ -4tan(x) 3 - 3tan^2(x) ≥ -4tan(x) 3tan^2(x) + 4tan(x) + 3 ≥ 0 Аналогично, мы можем решить это квадратное неравенство, используя метод интервалов или факторизацию квадратного выражения. Решение этого квадратного неравенства даст интервалы значений x, удовлетворяющие неравенству для данного случая.

Обратите внимание, что решение неравенства может варьироваться в зависимости от допустимого диапазона значений x.