Question

Проволока длиной 1 метр должна быть поделена на 2 части. Из первой части сделают круг, из второй квадрат. Какую длину должны иметь первая и вторая часть проволоки, чтобы сумма площадей круга и квадрата была максимальной?

Answer 1

Можно решать графически, нарисовав график зависимости суммарной площади от периметра одной из фигур (например, круга).
Периметр фигуры- это и есть длина куска проволоки, взятой для изготовления этой фигуры. Длину для удобства будем выражать в сантиметрах (т.е. длина проволоки будет 100см).

Обозначим периметр круга как x (икс)
Тогда периметр квадрата будет равен оставшемуся куску проволоки, то есть:  100-x

Периметр круга равен два пи, умножить на радиус ( $P=2\pi r$ ).
Отсюда, радиус равен:  $r=\frac{P}{2\pi}=\frac{x}{2\pi}$
Площадь круга равна пи умножить на радиус в квадрате:  $S=\pi r^2=\pi(\frac{x}{2\pi})^2=\pi\frac{x^2}{4\pi^2}=\frac{x^2}{4\pi}$

Периметр квадрата равен четырём его сторонам ( $P=4a$ ).
Отсюда, сторона равна:  $a=\frac{P}{4}=\frac{100-x}{4}$
Площадь квадрата равна:  $S=a^2=(\frac{100-x}{4})^2=\frac{10000-200x+x^2}{16}=x^2-12,5x+625$

Теперь, запишем чему равна сумма площадей круга и квадрата:
$S=\frac{x^2}{4\pi}+x^2-12,5x+625=(1+\frac{1}{4\pi})x^2-12,5x+625$

Как видим, получилось уравнение параболы, у которой ветви направлены вверх (так как коэффициент при икс квадрат- положительный).
Если поразмыслить, то мы поймём, что у такой параболы максимальное значение y  для любого отрезка по x будет на одном из концов этого отрезка (на том, который дальше от вершины параболы).
Подтвердим это, построив график функции $y=(1+\frac{1}{4\pi})x^2-12,5x+625$
Для начала, вычислим несколько значений функции при разных икс:
x    y
0    795,8
10    650,8
20    534,3
30    446,2
40    386,5
50    355,2
60    352,3
70    377,9
80    431,8
90    514,2
100    625,0
Затем, по этим точкам построим график (смотри приложенный рисунок).

По графику видно, что максимальное значение суммарной площади получается при x=100 (хотя, это видно и без графика, по вычисленным значениям функции).
Значит, длина первой части проволоки (для изготовления круга) нужна 100 сантиметров (т.е. 1 метр), а длина второй части- для квадрата получится равной:  100-x = 100-100 = 0см.
То есть максимальная площадь получится, если квадрат вообще не делать, а всю проволоку пустить на изготовление круга.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать метод дифференциального исчисления.

Обозначим длину первой части проволоки как x, а длину второй части проволоки как 1 - x (так как общая длина проволоки равна 1 метру). Теперь мы можем выразить площади круга и квадрата через x.

Площадь круга S1 = π*(x/2)^2 Площадь квадрата S2 = (1 - x)^2

Теперь мы можем выразить сумму площадей как функцию от x:

S(x) = π*(x/2)^2 + (1 - x)^2

Для нахождения максимальной суммы площадей мы можем найти производную функции S(x) и приравнять её к нулю:

S'(x) = 0

После нахождения x, мы можем найти длину первой и второй части проволоки, подставив найденное значение x в наши исходные уравнения.

Это позволит нам найти длину проволоки, при которой сумма площадей круга и квадрата будет максимальной.