Question

Даны координаты вершины пирамиды ABCD. Найдите: объем пирамиды; площадь грани ABD; угол между рёбрами AB и AC; уравнение плоскости BCA. A(7;2;4) B(7;-1;-2) C(3;3;1) D(-4;2;1)

Answer 1

$A(7,2,4)\; ,\; B(7,-1,-2)\; ,\; C(3,3,1)\; ,\; D(-4,2,1)\\\\1)\; \; \overline {AB}=(0,-3,-6)\; ,\; \; \overline {AC}=(-4,1,-3)\; ,\; \; \overline {AD}=(-11,0,-3)\\\\(\overline {AB},\overline {AC},\overline {AD})=\left|\begin{array}{ccc}0&-3&-6\\-4&1&-3\\-11&0&-3\end{array}\right|=3(12-33)-6(0+11)=-129\\\\V=\frac{1}{6}\cdot |-129|=\frac{129}{6}=21,5\\\\2)\; \; [\overline {AB}\times \overline {AD}]=\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\0&-3&-6\\-11&0&-3\end{array}\right|=9\vec{i}+66\vec{j}-33\vec{k}$

$|\, [\overline {AB}\times \overline {AD}]\, |=\sqrt{9^2+66^2+33^2}=\sqrt{5526}=3\sqrt{614}\\\\S=\frac{3}{2}\sqrt{614}$

$3)\; \; cos\alpha =\frac{(\ovecrline {AB},\overline {AC})}{|\overline {AB}|\cdot |\overline {AC}|}=\frac{0-3+18}{\sqrt{3^2+6^2}\cdot \sqrt{4^2+1^2+3^2}}=\frac{15}{\sqrt{45}\cdot \sqrt{26}}=\frac{\sqrt5}{\sqrt{26}}=\sqrt{\frac{5}{26}}\approx 0,44\\\\\alpha =arccos\sqrt{\frac{5}{26}$

$4)\; \; \left|\begin{array}{ccc}x-3&y-3&z-1\\7-3&2-3&4-1\\7-3&-1-3&-2-1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}x-3&y-3&z-1\\4&-1&3\\4&-4&-3\end{array}\right|=\\\\\\=(x-3)(3+12)-(y-3)(-12-12)+(z-1)(-16+4)=\\\\=15(x-3)+24(y-3)-12(z-1)=0\\\\5(x-3)+8(y-3)-4(z-1)=0\\\\BCA:\; 5x+8y-4z-35=0$

Answer 2

Для нахождения объема пирамиды можно воспользоваться формулой:

V = (1/3) * S * h,

где S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Для начала найдем координаты векторов AB, AC и AD:

AB = B - A = (7 - 7; -1 - 2; -2 - 4) =