Question

Помогите решить уравнение 1-sinx=cos2x

Answer 1

$1-\sin x=\cos2x$

Распишем косинус двойного аргумента:

$1-\sin x=1-2\sin^2x$

$2\sin^2x-\sin x=0$

$\sin x(2\sin x-1)=0$

Уравнение распадается на совокупность двух:

$\left[\begin{array}{l} \sin x=0 \\ 2\sin x-1=0 \end{array}$

$\left[\begin{array}{l} \sin x=0 \\ \sin x=\frac{1}{2} \end{array}$

$\left[\begin{array}{l} x_1=\pi n, \ n\in\mathbb{Z} \\ x_2=(-1)^{k}\frac{\pi}{6}+\pi k, \ k\in\mathbb{Z} \end{array}$

Ответ: $x_1=\pi n; \ x_2=(-1)^{k}\dfrac{\pi}{6}+\pi k, \ n,k\in\mathbb{Z}$

Answer 2

Давайте решим уравнение 1 - sin(x) = cos(2x). Сначала преобразуем уравнение, используя тригонометричкие тождества:

cos(2x) = 1 - 2sin^2(x).

Теперь подставим это выражение в уравнение:

1 - sin(x) = 1 - 2sin^2(x).

Теперь выразим sin(x) и решим получившееся квадратное уравнение:

2sin^2(x) - sin(x) = 0.

sin(x)(2sin(x) - 1) = 0.

Теперь рассмотрим два случая:

1. sin(x) = 0: Это уравнение имеет одно решение: x = 0.

2. 2sin(x) - 1 = 0: Решим это уравнение относительно sin(x): 2sin(x) = 1. sin(x) = 1/2.

Теперь найдем все углы в интервале [0, 2π], в которых sin(x) равно 1/2. Это происходит при x = π/6 и x = 5π/6.

Таким образом, уравнение 1 - sin(x) = cos(2x) имеет три решения: x = 0, x = π/6, x = 5π/6.