Question

В трапеции АВСД основание АД в два раза больше основания ВС. Внутри трапеции взяли точку М так, что углы ABM и ДСМ прямые. а) Докажите, что АМ=ДМ. б) Найдите угол ВАД, если угол АДС равен 70о, а расстояние от точки М до прямой АД равно стороне ВС.

Answer 1

а) Продолжим боковые стороны трапеции до их взаимного пересечения. Поскольку основание AD в два раза больше BC, то BC - средняя линия получившегося треугольника, а, в свою очередь, MB и MC - серединные перпендикуляры к сторонам треугольника. Стало быть, M - центр описанной окружности треугольника, а AM=DM - как радиусы одной окружности.

б) Перпендикуляр (расстояние), опущенный на AD из M является серединным. Пусть это перпендикуляр MK. Тогда треугольник MKA является прямоугольным равнобедренным, то есть угол AMK равен 45 гр. Поскольку угол AMD в два раза больше верхнего угла треугольника, а угол AMK в два раза меньше угла AMD, то верхний угол равен углу AMK, то есть равен 45 гр. Оставшийся угол легко найти: 180-45-70=65 гр

Answer 2

Давайте рассмотрим данную трапецию более подробно.

Пусть $AB = a$, $CD = b$, $AD = 2b$ (по условию), $BC = d$, $MC = x$ и $MD = y$.

Из условия мы имеем два прямых угла: $\angle ABM$ и $\angle CDM$. Это означает, что $AB$ и $CD$ параллельны и, следовательно, $BC$ и $AD$ тоже параллельны.

Так как $AB$ и $CD$ параллельны, то углы $\angle A$ и $\angle D$ (внутренние углы у оснований) смежные и дополняющие, то есть:

$$\angle A + \angle D = 180^\circ \quad (1)$$

Также, поскольку $AB$ и $BC$ параллельны, углы $\angle A$ и $\angle C$ (верхние углы) также смежные и дополняющие, то есть:

$$\angle A + \angle C = 180^\circ \quad (2)$$

Из (1) и (2) следует, что $\angle C = \angle D$. Таким образом, треугольники $ACM$ и $DAM$ подобными.

Из подобия треугольников мы можем записать пропорцию:

$$\frac{AM}{DM} = \frac{AC}{AD} \quad (3)$$

Теперь давайте найдем отношение сторон $AC$ и $AD$.

Так как $ABCD$ - трапеция, то $AD$ и $BC$ параллельны. Это означает, что углы $\angle BAD$ и $\angle BCD$ (пересекающие углы) равны.

Так как $\angle CDM = 90^\circ$, то $\angle ADC = 90^\circ - \angle CDM = 90^\circ - 90^\circ = 0^\circ$.

Из этого следует, что треугольник $ADC$ вырожденный, и $AC = CD = b$.

Таким образом, отношение сторон $AC$ и $AD$ равно $b : 2b = 1 : 2$.

Теперь мы можем подставить это в уравнение (3):

$$\frac{AM}{DM} = \frac{1}{2}$$

Это означает, что $AM$ равно половине $DM$, что дает нам ответ на первую часть задачи: $AM = DM$.

Теперь перейдем ко второй части задачи.

Мы знаем, что $\angle ADS = 70^\circ$ и расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно $BC = d$.

Из подобия треугольников $ACM$ и $DAM$ мы можем записать пропорцию:

$$\frac{AM}{DM} = \frac{AC}{AD} = \frac{b}{2b} = \frac{1}{2}$$

Теперь рассмотрим треугольник $ADM$. Мы знаем, что $AM = DM$ (по первой части задачи), и $AD = 2b$. Мы можем использовать тригонометрические функции, чтобы найти угол $\angle MAD$:

$$\tan(\angle MAD) = \frac{d}{2b} \quad \text{(так как } \tan(\angle MAD) = \frac{\text{противолежащий}}{\text{прилежащий}}\text{)}$$

Отсюда:

$$\angle MAD = \arctan\left(\frac{d}{2b}\right)$$

Теперь мы можем найти угол $\angle VAD$:

$$\angle VAD = 180^\circ - \angle MAD - \angle ADS = 180^\circ - \arctan\left(\frac{d}{2b}\right) - 70^\circ$$