Question

Найдите количество корней уравнения 2sin^2x+cos^2x+3sinxcosx=3 на промежутке [п/3; 3п]

Answer 1

2sin²x+cos²x+3sinxcosx=3·1
2sin²x+cos²x+3sinxcosx=3·(sin²x+cos²x)
-sin²x+3sinxcosx-2cos²x=0 /:cos²x≠0
-tg²x+3tgx-2=0
tgx=t ⇒ -t²+3t-2=0 
D=b²-4ac=9-8=1
t=2 ⇒tgx=2, x=arctang2+πn,n∈Z
t=1⇒⇒tgx=1, x=π/4+πm,m∈Z
5π/4, 9π/4,arctg2, arctg2+π, arctg2+2π.

Answer 2

Для начала преобразуем уравнение: 2sin^2x + cos^2x + 3sinxcosx = 3 Перепишем cos^2x как 1 - sin^2x: 2sin^2x + 1 - sin^2x + 3sinxcosx = 3 Теперь объединим все слагаемые с sinx: -sin^2x + 3sinxcosx + 2sin^2x = 3 - 1 -sin^2x + 3sinxcosx + 2sin^2x = 2 Перепишем sin^2x как 1 - cos^2x: -(1 - cos^2x) + 3sinxcosx + 2(1 - cos^2x) = 2 -1 + cos^2x + 3sinxcosx + 2 - 2cos^2x = 2 Перегруппируем слагаемые: cos^2x - 2cos^2x + 3sinxcosx + 1 = 2 - cos^2x + 3sinxcosx - 1 = 0 Теперь можем решить уравнение: cos^2x - 3sinxcosx + 1 = 0

Количество корней уравнения на заданном промежутке можно найти, используя метод дихотомии или метод Ньютона. Для этого необходимо провести анализ знаков производной уравнения на данном интервале.