Question

F(x)=x^6*(x^4-1) Вычислите производные функций

Answer 1

$F(x)=x^{6}*( x^{4}-1 ) = x^{10}- x^{6} \\ F'(x)=10 x^{9}-6 x^{5}$

Answer 2

Для данной функции F(x) = x^6 * (x^4 - 1), нам требуется вычислить её производные. Чтобы вычислить производные функции, мы можем использовать правила дифференцирования, такие как правило степенной функции и правило произведения.

Производная функции F(x)

Для начала, вычислим производную функции F(x) по переменной x. Для этого применим правило производной степенной функции и производное от произведения:

Шаг 1: Разобьём функцию на два множителя: F(x) = x^6 * (x^4 - 1).

Шаг 2: Применим правило производной степенной функции для первого множителя, x^6. Правило гласит, что производная степенной функции равна произведению показателя степени и коэффициента при переменной, умноженному на саму переменную, возведённую в степень на единицу меньшую показателя степени. Таким образом, производная первого множителя равна 6 * x^(6-1) = 6x^5.

Шаг 3: Применим правило производной произведения для второго множителя, (x^4 - 1). Правило гласит, что производная произведения равна сумме произведений производных каждого множителя. Таким образом, производная второго множителя равна производной первого множителя, x^4, которая равна 4 * x^(4-1) = 4x^3, умноженной на второй множитель, 1. Таким образом, производная второго множителя равна 4x^3.

Шаг 4: Суммируем производные каждого множителя для получения производной функции F(x):

F'(x) = 6x^5 * (x^4 - 1) + x^6 * 4x^3

F'(x) = 6x^9 - 6x^5 + 4x^9

F'(x) = 10x^9 - 6x^5

Вторая производная функции F(x)

Для вычисления второй производной функции F(x), мы применим те же правила дифференцирования, что и для первой производной:

Шаг 1: Вычисляем первую производную функции F(x):

F'(x) = 10x^9 - 6x^5.

Шаг 2: Применяем правило производной степенной функции для каждого монома в первой производной:

Производная монома 10x^9 равна 9 * 10x^(9-1) = 90x^8.

Производная монома -6x^5 равна 5 * (-6)x^(5-1) = -30x^4.

Шаг 3: Суммируем производные каждого монома для получения второй производной функции F(x):

F''(x) = 90x^8 - 30x^4.

Таким образом, вторая производная функции F(x) равна 90x^8 - 30x^4.

Это детальное вычисление производных функции F(x) = x^6 * (x^4 - 1). Если у вас есть ещё вопросы или вам нужно что-то пояснить, пожалуйста, сообщите.