Question

Доказательство 100 БАЛЛОВ ЗАДАНИЕ ДЛЯ ИЗБРАННЫХ X³-X=2018 НАДО НАЙТИ ЦЕЛОЕ РЕШЕНИЕ И ДОКАЗАТЬ!!!!!!!

Answer 1

$x(x^2-1)=2018$
$x(x-1)(x+1)=2018$
Так как 2018=1009*2, а 1009 и 2 - простые числа, то 2018 можно разложить на 3 целых множителя только следующими способами:
1*1*2018
(-1)*(-1)*2018
(-1)*1*(-2018)
1*2*1009
(-1)*(-2)*1009
(-1)*2*(-1009)
1*(-2)*(-1009)
А числа x-1, x, x+1 - три последовательных целых числа.
Такой комбинации среди разложения на множители нет, значит, в целых числах решения нет.
Другой способ:
функция y=x^3-x возрастает при 3x^2-1>0, то есть, при всех x из интервалов (-∞;-1/√3)∪(1/√3;+∞).
При x=12 y(x)=12^3-12=1716<2018, при x=13 y(x)=13^3-13
=2184>2018.
Значит, единственное значение y=2018 она принимает на интервале (12;13). То есть, целых корней у уравнения нет.

Answer 2

Для найти целочисленные решения уравнения $X^3 - X = 2018$, мы можем попытаться перебрать целые значения $X$ и проверить, удовлетворяет ли каждое из них уравнению. Но это может занять много времени и усилий.

Вместо этого, воспользуемся некоторыми свойствами кубических уравнений. Сначала преобразуем данное уравнение:

$X^3 - X - 2018 = 0$

Теперь мы ищем целочисленные корни этого уравнения. Один из способов это сделать — использовать метод Кубической формулы, который выражает корни кубического уравнения через комплексные числа. Но так как нам нужны целые корни, мы можем воспользоваться другим подходом.

Обратимся к теореме о рациональных корнях (или целых корнях) для многочленов. Эта теорема утверждает, что если многочлен с целыми коэффициентами имеет целый корень $a/b$, где $a$ и $b$ взаимно просты (то есть их НОД равен 1), то $a$ делит свободный член многочлена, а $b$ делит старший коэффициент многочлена.

В данном случае свободный член многочлена $X^3 - X - 2018$ равен -2018, а старший коэффициент равен 1. Таким образом, мы ищем делители числа 2018, которые являются взаимно простыми с 1. После нахождения делителей мы можем подставить их в уравнение и найти соответствующие значения $X$.

Простые способы разложения 2018 на множители:

$2018 = 2 \times 1009$

Таким образом, у нас есть два случая:

1. $a = 1$, $b = 2$
2. $a = -1$, $b = -2$

Подставляя значения в уравнение, мы можем найти соответствующие целые решения:

1. При $a = 1$ и $b = 2$:

$X = \frac{a}{b} = \frac{1}{2}$

Решение не целое.

2. При $a = -1$ и $b = -2$:

$X = \frac{a}{b} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$

Решение не целое.

К сожалению, уравнение $X^3 - X = 2018$ не имеет целых решений.