Question

1.8.° Доведіть, що при будь-якому значенні змінної є правильною нерівність: 1) (a + 3)(a + 1) > a(a + 4)2) 3(b - 4) + 2b < 5b - 103) (c - 4)(c + 4) > c ^ 2 - 204) x(x + 6) - x ^ 2 < 2(3x + 1)5) (y + 5)(y - 2) >= 3y - 106) 8m ^ 2 - 6m + 1 <= (3m - 1) ^ 2 ;7) a(a - 2) >= - 18) (b + 7) ^ 2 > 14b + 40​

Answer 1

Ответ:

1) Розкриваємо дужки: a^2 + 4a + 3 > a^2 + 4a. Скасовуємо спільні доданки і отримуємо 3 > 0, що є правильною нерівністю.

2) Розкриваємо дужки: 3b - 12 + 2b < 5b - 10. Скасовуємо спільні доданки і отримуємо b > -1, що є правильною нерівністю.

3) Розкриваємо дужки: c^2 - 16 > c^2 - 20. Скасовуємо спільні доданки і отримуємо 4 > 0, що є правильною нерівністю.

4) Розкриваємо дужки: x^2 + 6x - x^2 < 6x + 2. Скасовуємо спільні доданки і отримуємо 0 < 2, що є правильною нерівністю.

5) Розкриваємо дужки: y^2 + 3y - 10 >= 0. Розв'язуємо квадратне рівняння: (y + 5)(y - 2) >= 0. Знаходимо корені: y1 = -5, y2 = 2. Перевіряємо умову знаків і отримуємо, що нерівність виконується при y <= -5 або y >= 2.

6) Розкриваємо дужки: 8m^2 - 6m + 1 <= 9m^2 - 6m + 1. Скасовуємо спільні доданки і отримуємо -m^2 <= 0, що є правильною нерівністю.

7) Розкриваємо дужки: a^2 - 2a >= -1. Переносимо все в одну сторону і отримуємо a^2 - 2a + 1 >= 0, що еквівалентне (a - 1)^2 >= 0. Так як квадрат будь-якого числа не може бути від'ємним, то нерівність виконується для будь-якого значення a.

8) Розкриваємо дужки: b^2 + 14b + 49 > 14b + 40. Скасовуємо спільні доданки і отримуємо b^2 + 9 > 0, що є правильною нерівністю.

Answer 2

Давайте розглянемо кожну з цих нерівностей окремо:

1. (a + 3)(a + 1) > a(a + 4) Розкриємо дужки та спростимо: a^2 + 4a + 3 > a^2 + 4a Зараз можемо відняти a^2 і 4a з обох сторін: 3 > 0 Ця нерівність є правильною, оскільки 3 дійсно більше за 0.

2. 3(b - 4) + 2b < 5b - 10 Розкриємо дужки та спростимо: 3b - 12 + 2b < 5b - 10 Додамо 12 до обох сторін: 5b + 2b < 5b - 10 + 12 7b < 2 Поділимо обидві сторони на 7: b < 2/7 Ця нерівність є правильною.

3. (c - 4)(c + 4) > c^2 - 20 Розкриємо дужки та спростимо: c^2 - 16 > c^2 - 20 Віднімемо c^2 з обох сторін: -16 > -20 Ця нерівність також є правильною, оскільки -16 більше за -20.

4. x(x + 6) - x^2 < 2(3x + 1) Розкриємо дужки та спростимо: x^2 + 6x - x^2 < 6x + 2 x^2 та -x^2 взаємно скасовуються: 6x < 6x + 2 Віднімемо 6x з обох сторін: 0 < 2 Ця нерівність завжди правильна, оскільки 0 менше за 2.

5. (y + 5)(y - 2) ≥ 3y - 10 Розкриємо дужки та спростимо: y^2 + 5y - 2y - 10 ≥ 3y - 10 Зведемо подібні члени: y^2 + 3y - 10 ≥ 3y - 10 Віднімемо 3y та 10 з обох сторін: y^2 - 10 ≥ 0 Тепер ми маємо квадратичну нерівність, і вона правильна, коли y належить інтервалу [-∞, -√10] об'єднаного з [√10, +∞].

6. 8m^2 - 6m + 1 ≤ (3m - 1)^2 Розкриємо дужки та спростимо: 8m^2 - 6m + 1 ≤ 9m^2 - 6m + 1 Тепер віднімемо 8m^2, -6m та 1 з обох сторін: 0 ≤ m^2 Ця нерівність також є правильною, оскільки квадрат будь-якого числа завжди більше або дорівнює нулю.

7. a(a - 2) ≥ -18 Розкриємо дужки та спростимо: a^2 - 2a ≥ -18 Перенесемо -18 на ліву сторону: a^2 - 2a + 18 ≥ 0 Ця нерівність є правильною, оскільки дискримінант квадратного тричлена a^2 - 2a + 18 є від'ємним, що означає, що немає розв'язків.

8. (b + 7)^2 > 14b + 40 Розкриємо дужки та спростимо: b^2 + 14b + 49 > 14b + 40 Віднімемо 14b з обох сторін: b^2 + 49 > 40 Віднімемо 40 з обох сторін: b^2 + 49 - 40 > 0 b^2 + 9 > 0 Ця нерівність також є правильною, оскільки квадрат будь-якого числа завжди більше за 0.

Отже, всі вищенаведені нерівності є правильними відповідно до заданих умов.