Question

При каких значениях параметра k касательная к гиперболе y=k\x пересекает ось абсцисс в точке x=4

Answer 1

Уравнение касательной в точке $x_0$:
$y_{KAC}=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\\f'(x_0)=-\frac k{x^2}\\y_{KAC}=\frac kx-\frac k{x^2}(x-x_0)$
Зная одну из точек, принадлежащих прямой, имеем
$\frac k{x_0}-\frac k{x_0^2}(4-x_0)=0\\\frac k{x_0}-\frac{4k}{x_0^2}+\frac k{x_0}=0\\\frac{2k}{x_0}-\frac{4k}{x_0^2}=0\\\frac{4k}{x_0^2}=\frac{2k}{x_0}\\\frac2{x_0}=1\\x_0=2$
Имеем абсциссу точки касания 2. Тогда ордината точки касания  $y_0=\frac k2$.

Касательная к гиперболе y = k/x будет пересекать ось абсцисс в точке x=0 при любых k.

Answer 2

Чтобы найти уравнение касательной к гиперболе $y = \frac{k}{x}$ в точке $x = 4$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции $y = \frac{k}{x}$. Используя правило дифференцирования частного, получим:

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{k}{x^2}$$

2. Найдите угловой коэффициент касательной в точке $x = 4$. Подставьте $x = 4$ в выражение для производной:

$$\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=4} = -\frac{k}{4^2} = -\frac{k}{16}$$

3. Угловой коэффициент касательной равен нулю, если касательная параллельна оси абсцисс. Таким образом, установим условие:

$$-\frac{k}{16} = 0$$

Решая это уравнение, мы найдем значение параметра $k$, при котором касательная параллельна оси абсцисс:

$$k = 0$$

Таким образом, касательная к гиперболе $y = \frac{k}{x}$ пересекает ось абсцисс в точке $x = 4$ при $k = 0$.