Question

Помогите, пожалуйста, нужно подробное решение с пояснением. Известно, что F(x) одна из первообразных функции f(x)=x^3=x. Известно, что F(0)=4. Найдите F(2).

Answer 1

Если F(x) является первообразной функции f(x) = x^3, то F'(x) = f(x) = x^3.

Используя интеграл, мы можем найти F(x):

∫x^3 dx = (1/4)x^4 + C

Где C - постоянная интегрирования.

Теперь, чтобы найти значение F(2), мы подставляем x = 2 в выражение (1/4)x^4 + C и используем условие F(0) = 4:

F(2) = (1/4)(2)^4 + C = (1/4)(16) + C = 4 + C

Так как известно, что F(0) = 4, мы можем использовать это условие для определения значения постоянной C:

F(0) = (1/4)(0)^4 + C = 0 + C = 4

C = 4.

Теперь мы можем вычислить F(2):

F(2) = 4 + C = 4 + 4 = 8

F(2) = 8.

Answer 2

Конечно, давайте решим это вместе.

Мы знаем, что $F(x)$ - первообразная функции $f(x) = x^3$. Таким образом, производная $F(x)$ равна $f(x)$:

$F'(x) = f(x) = x^3.$

Теперь мы хотим найти саму функцию $F(x)$, зная, что $F(0) = 4$. Для этого мы проинтегрируем $f(x)$:

$F(x) = \int x^3 \, dx.$

Интегрируем каждую степень $x$ по отдельности:

$F(x) = \frac{1}{4}x^4 + C,$

где $C$ - константа интегрирования.

Мы знаем, что $F(0) = 4$, поэтому:

$4 = \frac{1}{4} \cdot 0^4 + C.$

Отсюда находим $C = 4$.

Таким образом, $F(x) = \frac{1}{4}x^4 + 4$.

Теперь мы можем найти $F(2)$:

$F(2) = \frac{1}{4} \cdot 2^4 + 4.$

Вычислим это:

$F(2) = \frac{1}{4} \cdot 16 + 4 = 4 + 4 = 8.$

Итак, $F(2) = 8$.