Question

Решите уравнение √2 cos²x=sin(П/2+x)Найдите корни принадлежащие промежутку -7П/2;-2П

Answer 1

√2cos²x-cosx=0
1)cosx=0
x=π/2 +πn,n∈Z
-7π/2≤π/2+πn≤-2π
-4≤n≤-3/2
n=-4,-3,-2.
x1=-7π/2; x2=-5π/2; x3=-3π/2.
2)cosx=√2/2
x=плюс минус π/4+2πn,n∈Z
a)-7π/2≤π/4+2πn≤-2π
-15/8≤n≤-9/8
n=-1
x4=-7π/4
б)-7π/2≤-π/4+2πn≤-2π
-13/8≤n≤-7/8
n=-1
x5=-9π/4

Answer 2

Для начала решим данное уравнение по шагам:

1. Применим тригонометрические тождества: - Заменим cos²x на 1 - sin²x, так как cos²x = 1 - sin²x. - Заменим sin(П/2 + x) на cos(x), так как sin(П/2 + x) = cos(x). Уравнение примет вид: √2(1 - sin²x) = cos(x).

2. Раскроем скобки и упростим уравнение: √2 - √2sin²x = cos(x).

3. Перенесем все слагаемые в одну сторону уравнения: √2sin²x + cos(x) - √2 = 0.

4. Заменим sin²x на 1 - cos²x, так как sin²x = 1 - cos²x: √2(1 - cos²x) + cos(x) - √2 = 0.

5. Раскроем скобки и упростим уравнение: √2 - √2cos²x + cos(x) - √2 = 0.

6. Упростим уравнение, объединив подобные слагаемые: - √2cos²x + cos(x) = 0.

Теперь у нас есть уравнение - √2cos²x + cos(x) = 0. Чтобы найти корни этого уравнения, мы можем использовать метод решения квадратных уравнений.

Решение квадратного уравнения

1. Заменим cos(x) на переменную t: - √2t² + t = 0.

2. Раскроем скобки и упростим уравнение: √2t² + t = 0.

3. Факторизуем уравнение: t(√2t + 1) = 0.

4. Используя свойство "произведение равно нулю", получим два возможных варианта: t = 0 или √2t + 1 = 0.

5. Решим первый вариант: t = 0.

6. Решим второй вариант: √2t + 1 = 0. √2t = -1. t = -1/√2. Теперь у нас есть два возможных значения для t: t = 0 и t = -1/√2. Чтобы найти значения x, мы можем вернуться к исходному уравнению и решить его для каждого значения t.

Первый случай: t = 0

Вернемся к уравнению √2cos²x + cos(x) = 0 и заменим t на 0: √2cos²x + cos(x) = 0. √2(0)² + cos(x) = 0. cos(x) = 0.

Корни этого уравнения - это точки, в которых cos(x) равен нулю. Такие точки находятся при значениях x, для которых x = (2n + 1) * П/2, где n - целое число.

В данном случае, чтобы найти корни, принадлежащие промежутку -7П/2 до -2П, мы можем найти значения x при которых (2n + 1) * П/2 находится в этом промежутке.

Подставляя различные значения n, мы можем найти все корни в заданном промежутке.