Question

Мистер Фокс сделал любопытный автомат: если в него засунуть карточку с числом М , то автомат выдаст такую же карточку, но с числом М+d , где d -— наибольший натуральный делитель числаМ, отличный от М . Полученную карточку можно снова засовывать в автомат. Мистер Фокс выбрал число М, которое делится на 2, но не делится на 4, и сунул карточку с этим числом в автомат. Полученную карточку он снова сунул в автомат, и так далее. Когда Мистер Фокс устал, у него была карточка с числом 3в степени 200 . Сколько операций сделал мистер Фокс со своим чудесным автоматом? Помогите, пожалуйста

Answer 1

Значит, за три действия M умножается на 3. Оно было умножено на 3 200 раз, значит, было проделано 600 операций. Ни до этого ни после этого число (3^200 * M) появиться не могло (смотрите последовательность действий для умножения на 3).

Ответ: 600 операций.

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей. Мистер Фокс начал с числа M, которое делится на 2, но не делится на 4. Поскольку он устал, когда у него была карточка с числом 3 в степени 200, мы можем найти начальное значение M.

3 в степени 200 = 2 в степени 200 * (3 в степени 200 / 2 в степени 200) = 2 в степени 200 * (3 в степени 100).

Таким образом, начальное значение M равно 3 в степени 100.

Теперь мы можем начать процесс пошагово:

1. M = 3 в степени 100
2. Поскольку M делится на 2, но не делится на 4, то наибольший натуральный делитель, отличный от M, равен 2.
3. M + d = 3 в степени 100 + 2 = 3 в степени 100 + 2 в степени 1
4. Теперь M равно 3 в степени 100 + 2 в степени 1.

Теперь у нас есть новое значение M, и мы можем продолжить процесс:

5. Поскольку новое M делится на 2, но не делится на 4, то наибольший натуральный делитель, отличный от M, равен 2.
6. M + d = (3 в степени 100 + 2 в степени 1) + 2 = 3 в степени 100 + 2 в степени 1 + 2 в степени 1
7. Теперь M равно 3 в степени 100 + 2 в степени 1 + 2 в степени 1.

Мы видим, что на каждом шаге M увеличивается на 2 в степени 1. Таким образом, после n шагов M будет равно:

M = 3 в степени 100 + 2 в степени 1 * n

Теперь нам нужно найти n такое, что:

3 в степени 100 + 2 в степени 1 * n = 3 в степени 200

Теперь давайте решим это уравнение:

3 в степени 100 + 2 в степени 1 * n = 3 в степени 200

2 в степени 1 * n = 3 в степени 200 - 3 в степени 100

2 в степени 1 * n = 3 в степени 100 * (3 в степени 100 - 1)

n = log2(3 в степени 100 * (3 в степени 100 - 1))

Теперь мы можем вычислить значение n:

n = log2(3 в степени 100 * (3 в степени 100 - 1)) ≈ 299

Итак, Мистер Фокс сделал примерно 299 операций со своим чудесным автоматом, прежде чем устал.