Question

Тема: Производные/Анализ графика Найти экстремумы функции: y = x^8 * (3x - 1)^5 !!! Также нужно подробно расписать решение, всё таки балов даю предостаточно :)

Answer 1

Смотрите ответ на фотографии

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции $y = x^8 \cdot (3x - 1)^5$, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции $y$ по $x$.
2. Решим уравнение производной, чтобы найти критические точки (места, где производная равна нулю или не существует).
3. Используем вторую производную, чтобы определить тип экстремума в каждой критической точке.
4. Подставим найденные значения $x$ в исходную функцию $y$ для получения соответствующих значений $y$.

1. Найдем производную функции $y$:

Используем правило производной произведения:

$y' = \frac{d}{dx}\left(x^8 \cdot (3x - 1)^5\right)$

$y' = \frac{d}{dx}\left(x^8\right) \cdot (3x - 1)^5 + x^8 \cdot \frac{d}{dx}\left((3x - 1)^5\right)$

Производная $x^8$ по $x$ равна $8x^7$, и производная $(3x - 1)^5$ по $x$ может быть найдена с использованием цепного правила. Цепное правило гласит:

$\frac{d}{dx}\left((3x - 1)^5\right) = \frac{d}{d(3x - 1)}\left((3x - 1)^5\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(3x - 1\right)$

$= 5(3x - 1)^4 \cdot 3$

Теперь мы можем записать производную $y'$ полностью:

$y' = 8x^7 \cdot (3x - 1)^5 + x^8 \cdot 5(3x - 1)^4 \cdot 3$

2. Решим уравнение $y' = 0$ для поиска критических точек:

$8x^7 \cdot (3x - 1)^5 + x^8 \cdot 5(3x - 1)^4 \cdot 3 = 0$

Мы можем вынести общий множитель $x^7 \cdot (3x - 1)^4$ и решить уравнение:

$x^7 \cdot (3x - 1)^4 \cdot (8 + 15) = 0$

$x^7 \cdot (3x - 1)^4 \cdot 23 = 0$

Отсюда получаем два значения $x$:

1. $x = 0$
2. $3x - 1 = 0$, что влечет $x = \frac{1}{3}$

3. Определение типа экстремума:

Для определения типа экстремума в каждой критической точке, мы должны взять вторую производную $y''$ и подставить значения $x$.

Сначала найдем $y''$:

$y'' = \frac{d}{dx}\left(8x^7 \cdot (3x - 1)^5 + x^8 \cdot 5(3x - 1)^4 \cdot 3\right)$

По аналогии с предыдущими шагами, можно вычислить $y''$.

4. Подставим найденные значения $x$ в исходную функцию $y$ для получения соответствующих значений $y$:

a) При $$