Question

Найдите промежуток (a, b), на котором график функции имеет выпуклость вниз. f(x)=(1)/((x-1)(3-x))

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение: решение в файле

Answer 2

Чтобы найти промежуток, на котором график функции f(x) = 1 / ((x - 1)(3 - x)) имеет выпуклость вниз, мы должны определить, где вторая производная функции f(x) отрицательна.

Сначала найдем первую производную функции f(x):

f(x) = 1 / ((x - 1)(3 - x))

f'(x) = d/dx [1 / ((x - 1)(3 - x))]

Для вычисления производной этой функции используем правило дифференцирования частного:

f'(x) = [(3 - x) * 0 - (x - 1) * (-1)] / ((x - 1)^2(3 - x)^2)

f'(x) = (x - 1) / ((x - 1)^2(3 - x)^2)

Теперь найдем вторую производную:

f''(x) = d/dx [(x - 1) / ((x - 1)^2(3 - x)^2)]

Для этой производной также используем правило дифференцирования частного:

f''(x) = [(3 - x)^2 * 1 - (x - 1)^2 * 1] / ((x - 1)^2(3 - x)^3)

f''(x) = [(9 - 6x + x^2) - (x^2 - 2x + 1)] / ((x - 1)^2(3 - x)^3)

f''(x) = (9 - 6x + x^2 - x^2 + 2x - 1) / ((x - 1)^2(3 - x)^3)

f''(x) = (8 - 4x) / ((x - 1)^2(3 - x)^3)

Теперь мы должны найти интервалы, на которых вторая производная отрицательна, что будет означать выпуклость вниз. Для этого рассмотрим неравенство:

f''(x) < 0

(8 - 4x) / ((x - 1)^2(3 - x)^3) < 0

Теперь определим знак числителя и знаменателя:

1. Числитель: 8 - 4x. Знак числителя меняется при x = 2.

2. Знаменатель: ((x - 1)^2(3 - x)^3). Знак знаменателя меняется при x = 1 и x = 3.

Теперь соберем информацию вместе, чтобы найти интервалы, на которых выпуклость вниз:

1. Для x < 1, числитель и знаменатель положительны, поэтому f''(x) положительна. (8 - 4x) / ((x - 1)^2(3 - x)^3) > 0.

2. Для 1 < x < 2, числитель положителен, а знаменатель отрицателен, поэтому f''(x) отрицательна. (8 - 4x) / ((x - 1)^2(3 - x)^3) < 0.

3. Для 2 < x < 3, числитель и знаменатель отрицательны, поэтому f''(x) положительна. (8 - 4x) / ((x - 1)^2(3 - x)^3) > 0.

4. Для x > 3, числитель и знаменатель положительны, поэтому f''(x) положительна. (8 - 4x) / ((x - 1)^2(3 - x)^3) > 0.

Итак, интервал, на котором график функции f(x) = 1 / ((x - 1)(3 - x)) имеет выпуклость вниз, это (1, 2).