Question

Пусть PM, PN и PK – длины перпендикуляров, опущенных на прямые, содержащие стороны треугольника, из некоторой точки P внутри треугольника. Найдите наибольшее возможное целое значение произведения PM⋅PN⋅PK, если стороны треугольника равны 9, 12 и 15.

Answer 1

Точки, наиболее одновременно удалённые от сторон угла, лежат на биссектрисах угла треугольника.

Поэтому, точка Р - это центр вписанной окружности.

Заданный треугольник - прямоугольный: 9² + 12² = 15².

Тогда r = (a + b - c)/2 = (9 + 12 - 15)/2 = 6/2 = 3.

Ответ: наибольшее возможное целое значение произведения PM⋅PN⋅PK равно 3³ = 27.

Answer 2

Для нахождения наибольшего возможного целого значения произведения PM⋅PN⋅PK, мы можем воспользоваться неравенством о средних (неравенством АМ-ГМ).

Неравенство о средних утверждает, что для любых положительных чисел a, b и c:

(a + b + c)/3 ≥ ∛(a * b * c).

Для нашего случая, давайте обозначим длины сторон треугольника как a = 9, b = 12 и c = 15. Тогда:

(a + b + c)/3 = (9 + 12 + 15)/3 = 36/3 = 12.

И теперь мы можем применить неравенство о средних:

12 ≥ ∛(9 * 12 * 15).

Теперь найдем произведение PM⋅PN⋅PK:

PM⋅PN⋅PK = ∛(9 * 12 * 15).

∛(9 * 12 * 15) = ∛(1620).

Теперь найдем кубический корень из 1620:

∛(1620) ≈ 11.874.

Так как мы ищем наибольшее возможное целое значение произведения PM⋅PN⋅PK, округлим 11.874 до ближайшего целого числа, которое меньше или равно ему:

Наибольшее возможное целое значение произведения PM⋅PN⋅PK = 11.

Таким образом, наибольшее возможное целое значение произведения PM⋅PN⋅PK равно 11.