Question

Интегралы. Обчислить длины дуг кривых что заданы уравнениями в прямоугольной системе кординат - y=2+chx ; 0<=x<=1

Answer 1

$\begin{cases}y=2+\cosh(x)\\0\leq x\leq 1\end{cases}\\\\l=\int\limits_0^1\sqrt{1+\sinh^2(x)}dx=\int\limits_0^1\sqrt{\cosh^2(x)}dx=\int\limits_0^1\left | \cosh(x) \right |dx=\int\limits_0^1 \cosh(x)dx=\sinh(x)\Big|^1_0=\sinh(1)-\sinh(0)=\sinh(1)\approx1.1752$

Упустил модуль, т.к  х изменяется в положительных пределах.

Answer 2

Для того чтобы вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в прямоугольной системе координат, нужно использовать формулу для расчета длины кривой по интегралу. Для данной кривой, заданной уравнением y = 2 + ch(x), где 0 <= x <= 1, формула будет выглядеть следующим образом:

L = ∫[a, b] √(1 + (dy/dx)^2) dx

где a и b - это границы интегрирования, а dy/dx - производная y по x.

Сначала найдем производную y по x:

dy/dx = d(ch(x))/dx dy/dx = sh(x)

Теперь выразим производную через x и подставим ее в формулу для длины дуги:

L = ∫[0, 1] √(1 + sh^2(x)) dx

Теперь вычислим этот интеграл. Интеграл ∫ sh^2(x) dx можно выразить через элементарные функции:

∫ sh^2(x) dx = (x - sh(x)ch(x)) + C

Теперь подставим это выражение обратно в формулу для длины дуги:

L = ∫[0, 1] √(1 + (x - sh(x)ch(x))^2) dx

Теперь можно вычислить этот интеграл численно, используя методы численного интегрирования, например, метод трапеций или метод Симпсона, или с помощью математического программного обеспечения, такого как MATLAB или Python с библиотекой SciPy.