Question

Решите уравнение:sinxsin2x = cosx

Answer 1

Ответ: x1=π*n+π/2, x2=(-1)^k*π/4+π*k, x3=(-1)^(m+1)*π/4+π*m, где k,n,m∈Z.

Пошаговое объяснение:

Так как sin(2*x)=2*sin(x)*cos(x), поэтому данное уравнение можно переписать в виде: cos(x)*[2*sin²(x)-1]=0. Отсюда либо cos(x)=0, либо 2*sin²(x)-1=0. Решая уравнение cos(x)=0, находим x1=π*(2*n+1)/2=π*n+π/2, где n∈Z. Уравнение 2*sin²(x)-1=0, или равносильное ему уравнение sin²(x)=1/2, распадается на два: sin(x)=√2/2 и sin(x)=-√2/2. Первое имеет решения x2=(-1)^k*π/4+π*k, где k∈Z. Второе имеет решения x3=(-1)^m*(-π/4)+π*m=(-1)^(m+1)*π/4+π*m, где m∈Z.

Answer 2

Чтобы решить уравнение $\sin x \sin 2x = \cos x$, давайте преобразуем его:

$\sin x \sin 2x - \cos x = 0$

Теперь мы можем использовать тригонометрические тождества. Воспользуемся формулой для произведения синусов:

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$

Теперь уравнение принимает вид:

$\sin x (2 \sin x \cos x) - \cos x = 0$

Факторизуем уравнение:

$\sin x (2 \sin x \cos x - 1) = 0$

Теперь у нас два множителя:

1. $\sin x = 0$
2. $2 \sin x \cos x - 1 = 0$

Решим каждое уравнение по отдельности:

1. Для $\sin x = 0$, решением будет $x = k \pi$, где $k$ - целое число.

2. Для $2 \sin x \cos x - 1 = 0$:

$\sin x \cos x = \frac{1}{2}$

Используем тригонометрические тождества:

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$

Теперь у нас:

$\sin 2x = 1$

Решение этого уравнения будет $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$, где $k$ - целое число.

Таким образом, общее решение уравнения $\sin x \sin 2x = \cos x$ будет:

$x = k \pi, \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$

где $k$ - целое число.