Question

Y=(x^2-4)/x полное исследование функции с графиком решите пожалуйста

Answer 1

Ответ:

х1=-2 х2=2 график по х две линни вверх и по х 2 то самое

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для проведения полного исследования функции $Y = \frac{x^2 - 4}{x}$, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции.
2. Найти и анализировать точки разрыва.
3. Найти и анализировать асимптоты.
4. Найти производную функции и найти её нули (критические точки).
5. Определить интервалы увеличения/уменьшения функции.
6. Найти экстремумы и точки перегиба.
7. Построить график функции.

Давайте начнем с этого.

1. Область определения: Функция $Y = \frac{x^2 - 4}{x}$ не определена при $x = 0$ (так как деление на ноль невозможно). Таким образом, область определения функции - $\mathbb{R}$ за исключением $x = 0$.

2. Точки разрыва: Поскольку функция не определена при $x = 0$, это является точкой разрыва. Это вертикальная асимптота.

3. Асимптоты:

   • Вертикальная асимптота: $x = 0$ (так как функция не определена при $x = 0$).
   • Горизонтальная асимптота: Определим, как ведет себя функция при $x$ стремящемся к бесконечности. Для этого рассмотрим предел: $\lim_{{x \to \infty}} \frac{x^2 - 4}{x} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{x^2}{x} - \lim_{{x \to \infty}} \frac{4}{x} = \lim_{{x \to \infty}} x - 0 = \infty.$ Таким образом, горизонтальной асимптоты нет.

4. Производная функции: $Y'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2 - 4}{x}\right) = \frac{(x^2 - 4)'(x) - (x)'(x^2 - 4)}{x^2} = \frac{(2x)(x) - 1(x^2 - 4)}{x^2} = \frac{2x^2 - x^2 + 4}{x^2} = \frac{x^2 + 4}{x^2}.$

   Чтобы найти критические точки, решим уравнение $Y'(x) = 0$: $\frac{x^2 + 4}{x^2} = 0$ Такого уравнения нет решений, так как числитель не может быть равен нулю.

5. Интервалы увеличения/уменьшения функции: Поскольку производная $Y'(x)$ не имеет нулей, нет критических точек. Это означает, что функция не изменяет свой знак на всей области определения. Таким образом, функция либо всегда возрастает, либо всегда убывает. Для определения этого, можно взять любое число из интервала и проверить знак производной. Например, если $x > 0$, то $x^2 + 4 > 0$, и, следовательно, $Y'(x) > 0$, что означает, что функция возрастает на интервале $x > 0$. Аналогично, можно показать, что функция убывает на интервале $x < 0$.

6. Экстремумы и точки перегиба: Мы уже установили, что у функции нет критических точек, следовательно, у нее нет экстремумов. Чтобы найти точки перегиба, мы должны рассмотреть вторую производную $Y''(x)$, но поскольку у нас нет ни одной критической точки, то и точек перегиба у функции нет.

7. Построение графика функции: Теперь мы можем построить график функции $Y = \frac{x^2 - 4}{x}$. График будет выглядеть следующим образом:

   • Вертикальная асимптота в точке $x = 0$.
   • Функция возрастает на интервале $x > 0$ и убывает на интервале $x < 0$.

   Помните, что у функции нет горизонтальной асимптоты и точек экстремума или перегиба.

   

Это полное исследование функции $Y = \frac{x^2 - 4}{x}$, включая построение её графика.