Question

Що називається похідною функції?

Answer 1

Похідною функції f у точці x0 називається границя, до якої прямує відношення

ΔfΔx=f(x0+Δx)−f(x0)Δx,

якщо Δx наближається до нуля.

Отже,

f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx.

Функція, яка має похідну в точці x0, називається диференційованою в цій точці.

Поняття похідної та диференційованості функції в точці є тотожними. Тому часто операцію знаходження похідної називають диференціюванням функції.

Формули диференціювання

c′=0, де c – константа (число)

(x)′=1

(xk)′=k⋅xk−1

(sinx)′=cosx

(cosx)′=−sinx

(tgx)′=1cos2x

(ctgx)′=−1sin2x

(ex)′=ex

(ax)′=ax⋅lna

(logax)′=1x⋅lna

(lnx)′=1x

Якщо u(x) і v(x) деякі функції, то:

(u±v)′=u′±v′

(u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′

(c⋅u)′=c⋅u′

(u(k⋅x+b))′=k⋅u′(k⋅x+b), де k, b – константи

(uv)′=u′⋅v−u⋅v′v2

Рівняння дотичної до графіка функції y=f(x)

Рівняння дотичної до графіка функції y=f(x) має вигляд

y−y0=f′(x0)(x−x0)

де (x0;y0) — точка дотику.

Answer 2

Похідна функції - це концепція з математичного аналізу, яка визначає, як швидко змінюється значення функції при зміні її вхідного аргументу (незалежної змінної). Геометрично похідна вказує на нахил (кут нахилу) кривої, представленої цією функцією, у кожній точці графіка. Математично похідна функції f(x) позначається як f'(x) або df/dx і обчислюється як обмежена значенням граничного коефіцієнта приросту функції, коли змінний аргумент збільшується на дуже малу величину (до нуля). Формально, похідна визначається наступним чином:

f'(x) = lim (h -> 0) [f(x + h) - f(x)] / h

Де f'(x) - похідна функції f(x) в точці x, h - дуже мала змінна, що наближається до нуля. Похідна допомагає вивчати та розуміти характер зміни функцій, що є важливим у багатьох галузях науки і інженерії, а також в додаткових математичних дисциплінах, таких як диференціальні рівняння.