Question

Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями y=-x^2+5 та у=x+3.

Answer 1

S=интеграл a_b((4+ x - (2 + x²))dx) =интеграл((2+ x - x²)dx) =

(2x +x²/2  -x³/3) a_b .

находим пределы интегрирования  a  и b.

( точки пересечения графиков функций  парабола и прямая линия ) 

x² + 2 =4  +x;

x² - x -2 = 0;

x₁ = -1 ;

x₂  = 2 .

a = x₁ = -1 ;

b =x₂  = 2 .

S = (2x +x²/2  -x³/3) a_b  =(2*2+2²/2 -2³/3) - (2*(-1) + (-1)²/2 - (-1)³/3) = 4,5.

Answer 2

Для обчислення площі фігури, обмеженої лініями $y = -x^2 + 5$ та $y = x + 3$, потрібно знайти точки їх перетину, а потім знайти інтеграл від $y = x + 3$ до $y = -x^2 + 5$ від цих точок перетину.

Спочатку знайдемо точки перетину:

$-x^2 + 5 = x + 3$

Спростимо це рівняння:

$-x^2 - x + 2 = 0$

Тепер розв'яжемо це квадратне рівняння. Ми можемо використовувати квадратний корінь, щоб отримати два рішення:

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(-1)(2)}}{2(-1)}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{-2}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{-2}$

$x = \frac{1 \pm 3}{-2}$

Отримуємо два значення $x$: $x_1 = -2$ і $x_2 = 1$.

Тепер ми можемо обчислити площу фігури, використовуючи інтеграл:

$S = \int_{-2}^{1} ((x + 3) - (-x^2 + 5)) dx$

$S = \int_{-2}^{1} (x + 3 + x^2 - 5) dx$

$S = \int_{-2}^{1} (x^2 + x - 2) dx$

Тепер обчислимо цей інтеграл:

$S = \left[\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x\right]_{-2}^{1}$

$S = \left(\frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2} - 2(1)\right) - \left(\frac{(-2)^3}{3} + \frac{(-2)^2}{2} - 2(-2)\right)$

$S = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2\right) - \left(\frac{-8}{3} + 2 - 4\right)$

$S = \left(\frac{1}{6} - 2\right) - \left(-\frac{8}{3} - 2 - 4\right)$

$S = \left(-\frac{11}{6}\right) + \left(-\frac{14}{3}\right)$

$S = -\frac{11}{6} - \frac{14}{3}$

Тепер об'єднаємо дроби:

$S=-\frac{11}{6}-\frac{28}{6}$ 0 0