Question

В равнобедренном треугольнике точка касания вписанной окружности делит боковую сторону на отрезки длиной 12 см и 3 см, считая от основания. Найдите площадь треугольника.

Answer 1

Ответ:

108 см²

Пошаговое объяснение:

Дан ΔАВС, АВ=ВС, РС=АК=12 см,  КВ=ВР=3 см. Найти S(АВС)

ТС=РС=12 см,  АТ=АК=12 см как касательные к окружности, проведенные из одной точки

АС=12+12=24 см

АВ=ВС=12+3=15 см

Найдем площадь по формуле Герона:

S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)=√(27*3*12*12)=√11664=108 см²

Answer 2

Пусть $AB = AC$ - основание равнобедренного треугольника, $BC$ - его равная сторона, $D$ - точка касания вписанной окружности с боковой стороной $AC$, и $E$ - точка касания с боковой стороной $AB$ (где $AE = 12$ см и $CE = 3$ см).

Так как $BD$ и $BE$ - радиусы вписанной окружности, а также $AD = DC$ (по теореме о касательных к окружности), то $BD = BE = x$.

Из условия задачи видно, что $AE + EC = AC$, то есть $12 + 3 = 15$ см. Так как $AD = DC$, то $x + 3 = 15$ см, и $x = 12$ см.

Теперь у нас есть все необходимые данные для нахождения площади треугольника. Мы можем воспользоваться формулой площади треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$

Подставим значения:

$S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 12 = 90\text{ см}^2$

Итак, площадь треугольника равна 90 квадратным сантиметрам.