Question

Площа фігури, обмежена лініями y=3x2+7, y=0, x=8, x=10 дорівнює

Answer 1

Решение:

Для решения интегралов подобного вида обычно используют формулу Ньютона-Лейбница:

$\displaystyle \int\limits^b_a {f(x)} \, dx = F(b) - F(a)$

В данном случае $f(x) = 3x^2 + 7$, а также $b=10$ и $a=8$. Все это можем подставить в формулу и выполнить действия:

$\displaystyle \int\limits^{10}_8 { \Big (3x^2+7 \Big ) } \, dx = \bigg ( 3 \cdot \frac{x^3 }{3} + 7 \cdot \frac{x^1}{1} \bigg ) \;\;\; \Big | ^{10}_8 = \bigg ( x^3 + 7x \bigg ) \;\;\; \Big | ^{10}_8 =\\\\= \Big ( 10^3 + 7 \cdot 10 \Big ) - \Big (8^3 + 8 \cdot 7 \Big ) = 1070 - 568 = 502$

Задача решена!

Ответ: 502 .

Answer 2

Для знаходження площі фігури, обмеженої заданими лініями, ми можемо використовувати інтеграл. В даному випадку нам потрібно знайти інтеграл від функції y = 3x^2 + 7 від x = 8 до x = 10 і потім відняти інтеграл від y = 0 від x = 8 до x = 10, оскільки y = 0 відповідає осі x.

Інтеграл від функції y = 3x^2 + 7 від x = 8 до x = 10:

∫(8 до 10) (3x^2 + 7) dx = [x^3 + 7x] (від 8 до 10)

Тепер підставимо верхні та нижні межі і віднімемо інтеграл від y = 0:

[(10^3 + 710) - (8^3 + 78)] - [(10^3 + 710) - (8^3 + 78)]

Обчислюючи це вираз, ми отримаємо площу фігури, обмеженої заданими лініями:

[(1000 + 70) - (512 + 56)] - [(1000 + 70) - (512 + 56)] = (1070 - 568) - (1070 - 568) = 502 - (-502) = 1004

Отже, площа фігури, обмеженої лініями y = 3x^2 + 7, y = 0, x = 8, x = 10, дорівнює 1004 квадратним одиницям.