Question

Y''+4y'+4y=e^(-5x)Помогитееее плиииззз

Answer 1

Решение на картинке.

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, как в вашем случае, можно использовать метод вариации постоянных. Сначала найдем общее решение однородного уравнения, а затем найдем частное решение неоднородного уравнения.

1. Начнем с однородного уравнения:

   Y'' + 4Y' + 4Y = 0

Характеристическое уравнение этого однородного уравнения имеет вид:

r^2 + 4r + 4 = 0

Факторизуем его:

(r + 2)^2 = 0

Решение этого квадратного уравнения:

r = -2 (корень кратности 2)

Теперь мы знаем, что общее решение однородного уравнения имеет следующий вид:

Y_h(x) = (C1 + C2x) * e^(-2x), где C1 и C2 - произвольные постоянные.

2. Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения, используя метод подстановки. Предположим, что частное решение имеет вид:

   Y_p(x) = A * e^(-5x)

Теперь найдем производные Y_p(x):

Y_p'(x) = -5A * e^(-5x) Y_p''(x) = 25A * e^(-5x)

Подставляем эти производные обратно в неоднородное уравнение:

25A * e^(-5x) - 20A * e^(-5x) + 4A * e^(-5x) = e^(-5x)

Сокращаем общий множитель e^(-5x):

9A = 1

A = 1/9

Таким образом, частное решение:

Y_p(x) = (1/9) * e^(-5x)

3. Теперь, чтобы найти полное решение, сложим общее решение однородного уравнения и частное решение неоднородного уравнения:

   Y(x) = Y_h(x) + Y_p(x) = (C1 + C2x) * e^(-2x) + (1/9) * e^(-5x)

Где C1 и C2 - произвольные постоянные, которые могут быть определены из начальных условий, если они заданы.