Question

1)Докажите,что f(x)=x^7+x^3 является первообразной для f(x)=7x^6+3x^3 на промежутке минус бесконечность и бесконечность Помогите Пожалуйста! СРОЧНО!​

Answer 1

В условии скорее всего допущена опечатка. Вместо  $f(x)= 7x^6+3x^3$ должно быть $f(x)= 7x^6+3x^2$

Доказательство:

Первообразной функции называется такая функция, что производная от нее равна самой функции.

Правила нахождения производной:

$(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)\\\\(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$

Значит мы должны найти производную от первообразной и сравнить ее с самой функцией:

$(x^7+x^3)'=7\cdot x^6+3\cdot x^2$

Производная от первообразной равна функции, значит первообразная правильно найдена.

Answer 2

Для доказательства того, что функция $f(x) = x^7 + x^3$ является первообразной (интегралом) для функции $f(x) = 7x^6 + 3x^3$, мы должны вычислить интеграл от $f(x) = 7x^6 + 3x^3$ и убедиться, что он равен $f(x) = x^7 + x^3$, добавив постоянную $C$.

Итак, начнем с вычисления интеграла $F(x)$ от $f(x) = 7x^6 + 3x^3$:

$F(x) = \int (7x^6 + 3x^3) \, dx$

Чтобы вычислить этот интеграл, мы используем правила степенного интеграла. Для каждого слагаемого интеграла, мы увеличиваем степень на 1 и делим коэффициент перед $x$ на новую степень:

$F(x) = \frac{7}{7}x^7 + \frac{3}{4}x^4 + C$

Упростим это выражение:

$F(x) = x^7 + \frac{3}{4}x^4 + C$

Теперь сравним $F(x)$ с $f(x)$:

$F(x) = x^7 + \frac{3}{4}x^4 + C$ $f(x) = x^7 + x^3$

Мы видим, что $F(x)$ и $f(x)$ имеют одинаковые слагаемые, но с разными постоянными коэффициентами. Таким образом, функция $F(x) = x^7 + \frac{3}{4}x^4 + C$ является первообразной функции $f(x) = 7x^6 + 3x^3$, где $C$ - произвольная постоянная интеграции.

Таким образом, мы доказали, что $f(x) = x^7 + x^3$ является первообразной для функции $f(x) = 7x^6 + 3x^3$ на всем интервале от минус бесконечности до бесконечности.