Question

Найти экстремум У=х^3/3+х^2

Answer 1

Находим производную: y'=(x^3/3)'+(x^2)'=3x^2/3+2x=x^2+2x
теперь приравняем к нулю: x^2+2x=0; x(x+2)=0; x1=0 x2=-2
находим точки экстремума минимума и максимума
на числовой прямой =>xmin=0 xmax=-2. 
ну както так. 

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции У = (х^3)/3 + х^2, нам понадобятся знания о производных и их свойствах. Экстремумы функции соответствуют точкам, где производная функции равна нулю или не существует.

Нахождение производной функции

Давайте начнем с нахождения производной функции У по переменной х. Это поможет нам найти места, где производная равна нулю. У = (х^3)/3 + х^2 Чтобы найти производную этой функции, мы можем использовать правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования степенной функции. Применим эти правила: У' = (1/3) * 3 * х^(3-1) + 2 * х^(2-1) У' = х^2 + 2х

Нахождение точек экстремума

Теперь, чтобы найти точки экстремума, мы должны найти значения х, при которых производная равна нулю. Решим уравнение: х^2 + 2х = 0 Факторизуем его: х(х + 2) = 0 Отсюда следует, что либо х = 0, либо (х + 2) = 0. Решим каждое уравнение по отдельности: 1. х = 0 2. х + 2 = 0 х = -2

Таким образом, мы нашли две точки, где производная функции равна нулю: х = 0 и х = -2. Эти точки могут быть потенциальными точками экстремума.

Определение типа экстремума

Чтобы определить, является ли каждая из найденных точек экстремумом, нам нужно проанализировать производную в окрестности каждой точки. 1. Для х = 0: Подставим х = 0 в производную функции: У'(0) = 0^2 + 2 * 0 = 0 Знак производной равен 0, что говорит о том, что точка х = 0 может быть экстремумом.

2. Для х = -2: Подставим х = -2 в производную функции: У'(-2) = (-2)^2 + 2 * (-2) = 4 - 4 = 0 Знак производной равен 0, что говорит о том, что точка х = -2 может быть экстремумом.

Для окончательного определения типа экстремума, нам необходимо проанализировать знаки производной в окрестностях каждой точки.

Анализ знака производной

Давайте проанализируем знак производной в окрестности каждой точки, чтобы определить тип экстремума. 1. Для х < -2: Подставим какое-нибудь значение х, меньшее чем -2, в производную функции У': У'(-3) = (-3)^2 + 2 * (-3) = 9 - 6 = 3 Знак производной положительный (+), что означает, что функция возрастает в этой области.

2. Для -2 < х < 0: Подставим какое-нибудь значение х, между -2 и 0, в производную функции У': У'(-1) = (-1)^2 + 2 * (-1) = 1 - 2 = -1 Знак производной отрицательный (-), что означает, что функция убывает в этой области.

3. Для х > 0: Подставим какое-нибудь значение х, большее чем 0, в производную функции У': У'(1) = (1)^2 + 2 * 1 = 1 + 2 = 3 Знак производной положительный (+), что означает, что функция возрастает в этой области.

Выводы

Исходя из нашего анализа, мы приходим к следующим выводам: - Точка х = 0 является точкой экстремума, так как производная меняет знак с отрицательного на положительный. - Точка х = -2 также является точкой экстремума, так как производная меняет знак с положительного на отрицательный.

Теперь, чтобы определить тип каждого экстремума (максимум или минимум), нам необходимо проанализировать функцию более подробно. Я рекомендую построить график функции У = (х^3)/3 + х^2 и посмотреть, как она меняется в окрестности каждой точки экстремума.