Question

В таблица n*m расставлены натуральные числа. Сумма чисел в каждой строке и каждом столбце равны. Докажите, что n=m.

Answer 1

Возьмем сумму чисел таблицы равной Z
тогда каждая строка равна Z/n
каждая строчка равна Z/m
Известно что суммы строчек и столбцов равны
Z/n = Z/m
m/Z=n/Z
m=n

Answer 2

Давайте предположим, что n ≠ m. Тогда, без потери общности, можно считать, что n < m.

Рассмотрим сумму всех чисел в таблице. С одной стороны, это сумма всех чисел в каждой строке, умноженная на n, так как у нас n строк. С другой стороны, это сумма всех чисел в каждом столбце, умноженная на m, так как у нас m столбцов.

Таким образом, мы получаем, что n * (сумма чисел в каждой строке) = m * (сумма чисел в каждом столбце). Но по условию задачи сумма чисел в каждой строке и каждом столбце одинакова, поэтому мы можем обозначить эту сумму как S.

Тогда у нас получается уравнение: n * S = m * S, или, сокращая S, n = m.

Таким образом, мы доказали, что если сумма чисел в каждой строке и каждом столбце равны, то n = m.