Question

Докажите что выражение (х-4)(х^2-4х+16)-(х^2-10)(х-1) принимает положительные значения при всех значениях х. Какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении х ?

Answer 1

x^3-64-x^3-x^2-10x+10=-x^2-10x-54

Answer 2

Задача:

Нам нужно доказать, что выражение `(х-4)(х^2-4х+16)-(х^2-10)(х-1)` принимает положительные значения при всех значениях `х`. Также нужно найти наименьшее значение этого выражения и соответствующее значение `х`.

Решение:

Давайте разберемся с этим выражением поэтапно.

1. Раскроем скобки: `(х-4)(х^2-4х+16)-(х^2-10)(х-1)`

Раскрываем первую скобку: `х * х^2 - х * 4х + х * 16 - 4 * х^2 + 4 * 4х - 4 * 16 - (х^2 - 10) * (х - 1)`

Раскрываем вторую скобку: `х * х^2 - х * 4х + х * 16 - 4 * х^2 + 4 * 4х - 4 * 16 - х^2 * (х - 1) + 10 * (х - 1)`

Упрощаем: `х^3 - 4х^2 + 16х - 4х^2 + 16х - 64 - х^3 + х^2 + 10х - 10`

Сокращаем подобные слагаемые: `-8х^2 + 42х - 74`

Таким образом, наше исходное выражение принимает вид `-8х^2 + 42х - 74`.

2. Теперь нам нужно доказать, что это выражение принимает положительные значения при всех значениях `х`. Для этого мы можем использовать метод дискриминанта.

Уравнение `-8х^2 + 42х - 74 = 0` является квадратным уравнением. Дискриминант такого уравнения вычисляется по формуле `D = b^2 - 4ac`, где `a`, `b` и `c` - коэффициенты уравнения.

В нашем случае `a = -8`, `b = 42` и `c = -74`. Подставим эти значения в формулу дискриминанта: `D = 42^2 - 4 * (-8) * (-74)`

Вычисляем: `D = 1764 - 2368`

Получаем `D = -604`.

Если дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней, и значит, выражение `-8х^2 + 42х - 74` будет принимать один и тот же знак при всех значениях `х`. Чтобы определить этот знак, мы можем посмотреть на коэффициент при наивысшей степени `х^2`, который в нашем случае равен `-8`. Так как коэффициент отрицательный, то выражение будет принимать положительные значения при всех значениях `х`.

3. Найдем наименьшее значение этого выражения и соответствующее значение `х`. Для этого мы можем использовать вершину параболы, так как у нас квадратное уравнение.

Формула для нахождения координат вершины параболы имеет вид `x = -b / (2a)`. В нашем случае `a = -8` и `b = 42`. Подставим эти значения в формулу: `x = -42 / (2 * (-8))`

Вычисляем: `x = -42 / (-16)`

Получаем `x = 2.625`.

Таким образом, наименьшее значение выражения `-8х^2 + 42х - 74` равно `-8 * (2.625)^2 + 42 * 2.625 - 74`, что примерно равно `-4.125`.

При этом значении `х = 2.625` выражение принимает наименьшее значение.

Ответ:

Выражение `(х-4)(х^2-4х+16)-(х^2-10)(х-1)` принимает положительные значения при всех значениях `х`. Наименьшее значение этого выражения равно примерно `-4.125` и достигается при `х = 2.625`.