Question

7^(x-2)=3^(2-x) Показательное уравнение

Answer 1

7х-14=6-3х
7х+3х=6+14
10х=20
х=2

Answer 2

Для решения показательного уравнения \(7^{x-2}=3^{2-x}\) мы можем воспользоваться логарифмическими свойствами.

Логарифмическое преобразование

Мы можем применить логарифм к обеим сторонам уравнения. В качестве основания логарифма выберем любое удобное число, но чаще всего для таких случаев выбирают натуральный логарифм (логарифм по основанию \(e\)) или десятичный логарифм (логарифм по основанию 10). Давайте воспользуемся натуральным логарифмом:

\[ \ln(7^{x-2}) = \ln(3^{2-x}) \]

Свойства логарифмов

Затем мы можем применить свойства логарифмов для упрощения уравнения:

\[ (x-2)\ln(7) = (2-x)\ln(3) \]

Раскрытие скобок

Теперь раскроем скобки и преобразуем уравнение:

\[ x\ln(7) - 2\ln(7) = 2\ln(3) - x\ln(3) \]

Перенос всех членов с переменной x в одну сторону

Чтобы решить уравнение, мы можем перенести все члены с переменной \(x\) в одну сторону:

\[ x\ln(7) + x\ln(3) = 2\ln(3) + 2\ln(7) \]

Факторизация переменной x

Теперь факторизуем \(x\):

\[ x(\ln(7) + \ln(3)) = 2(\ln(3) + \ln(7)) \]

Решение для переменной x

И, наконец, решим уравнение для переменной \(x\):

\[ x = \frac{2(\ln(3) + \ln(7))}{\ln(7) + \ln(3)} \]

Таким образом, мы нашли значение переменной \(x\), удовлетворяющее заданному показательному уравнению.