Question

Найти такие m, n (натуральные числа ), что m и n взаимно просты и m/n = 3,(2021)

Answer 1

A=0,(2021); 10000A=2021,(2021)=2021+A; 9999A=2021; A=2021/9999;

3,(2021)=3+A=3+2021/9999=32018/9999; m=32018; n=9999.

Докажем, что m и n взаимно просты.

Для этого достаточно доказать взаимную простоту чисел 2021  и 9999. Применять алгоритм Евклида лень, проще разложить 9999 на простые множители.

9999=3·3·1111=3·3·11·101. Кто сомневается в простоте числа 101, попробуйте поделить его на 2, 3, 5 и 7 (следующий простой потенциальный делитель - это 11, что больше корня из 101; если бы был такой делитель, то был был и делитель 101/11, меньший корня из 101).

У числа 2021 нет делителей 3, 11 или 101, поэтому взаимная простота доказана.

Ответ: m=32018; n=9999

Answer 2

Чтобы найти такие натуральные числа m и n, что m и n взаимно просты (то есть их наибольший общий делитель равен 1) и m/n = 3,(2021), мы можем представить дробь 3,(2021) как бесконечную периодическую десятичную дробь и затем выразить ее как несократимую дробь.

Пусть x = 3,(2021), тогда x = 3 + 0,(2021), и мы можем записать:

x = 3 + 0,(2021) = 3 + 0,(2020202020...) = 3 + 2021/999999.

Теперь мы видим, что дробь x можно записать как сумму 3 и некоторой дроби 2021/999999. Мы хотим, чтобы m/n была несократимой дробью, поэтому давайте преобразуем 2021/999999 в несократимую дробь:

2021/999999 = 7 * 17 * 2021 / (3 * 3 * 11 * 10101).

Мы видим, что числитель и знаменатель имеют общие множители, такие как 7 и 2021, которые не являются единицей. Чтобы получить несократимую дробь, мы должны упростить ее, выделив все общие множители:

2021/999999 = (7 * 17 * 2021) / (3 * 3 * 11 * 10101) = (7 * 17 * 2021) / (3^2 * 11 * 10101).

Теперь у нас есть несократимая дробь. Мы видим, что числитель этой дроби равен 7 * 17 * 2021, а знаменатель равен 3^2 * 11 * 10101.

Таким образом, мы можем выбрать m = 7 * 17 * 2021 и n = 3^2 * 11 * 10101. Эти числа m и n будут взаимно простыми, так как у них нет общих простых множителей, и m/n будет равно 3,(2021).