Question

Найдите общий вид первообразной доя функции : f(x)=4 sin x cos x

Answer 1

Сначала упростим функцию.

Answer 2

Для нахождения общего вида первообразной для функции f(x) = 4sin(x) + cos(x), мы можем использовать метод интегрирования по частям или метод замены переменной. Давайте рассмотрим оба подхода.

Метод интегрирования по частям:

В методе интегрирования по частям, мы используем формулу: ∫ u * v dx = u * ∫ v dx - ∫ (u' * ∫ v dx) dx,

где u и v - это функции, а u' - производная функции u по переменной x.

Для нашей функции f(x) = 4sin(x) + cos(x), мы можем выбрать u = 4sin(x) и dv = dx. Тогда, посчитаем производные u' и v:

u' = d/dx (4sin(x)) = 4cos(x), v = ∫ dv = ∫ dx = x.

Подставим значения u, v и их производные в формулу интегрирования по частям:

∫ (4sin(x) + cos(x)) dx = (4sin(x)) * (x) - ∫ (4cos(x) * x) dx.

Мы получили новый интеграл, который также нужно решить. Для решения этого интеграла мы можем снова использовать метод интегрирования по частям, или другие методы интегрирования, такие как метод замены переменной.

Метод замены переменной:

В методе замены переменной, мы заменяем переменную x на новую переменную, чтобы упростить интеграл. Для нашего интеграла, мы можем попробовать замену переменной x = t + π/4, где t - новая переменная.

Посчитаем производную x по t: dx/dt = d(t + π/4)/dt = 1.

Теперь подставим значения x и dx/dt в наш интеграл:

∫ (4sin(x) + cos(x)) dx = ∫ (4sin(t + π/4) + cos(t + π/4)) * 1 dt.

Упростим синус и косинус суммы аргументов:

= ∫ (4(sin(t)cos(π/4) + cos(t)sin(π/4)) + cos(t)cos(π/4) - sin(t)sin(π/4)) dt.

Теперь, зная, что sin(π/4) = cos(π/4) = √2/2 и sin(π/4) = cos(π/4) = √2/2, можем упростить интеграл:

= ∫ (4(√2/2*sin(t) + √2/2*cos(t)) + √2/2*cos(t) - √2/2*sin(t)) dt.

= ∫ (√2*sin(t) + √2*cos(t)) dt.

Теперь просто интегрируем эту функцию в зависимости от переменной t. Полученный результат будет общим видом первообразной для функции f(x) = 4sin(x) + cos(x).