Question

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений 1)x+3|y|+5=0 2)(x-a)^2+y^2=4 имеет 4 решения

Answer 1

Ответ:

a ∈ (-5 - 2√10; -7)

Пошаговое объяснение:

Дана система уравнений:

{ x + 3|y| + 5 = 0

{ (x - a)^2 + y^2 = 4

Найти. при каких а эта система имеет 4 решения.

Решение:

Проще всего решить эту задачу графически.

Смотрите рисунок.

1) 1 уравнение распадается на два уравнения:

[ y = (x + 5)/3 при y < 0

[ y = -(x + 5)/3 при y >= 0

Совокупность уравнений записывается с квадратной скобкой слева, в отличие от системы, которая записывается с фигурной скобкой.

Совокупность означает, что может выполняться любое из этих двух уравнений.

График этой совокупности - два луча, выходящих из A(-5; 0).

Таким образом, мы получаем две системы:

a) { y = (x + 5)/3

{ (x - a)^2 + y^2 = 4

b) { y = -(x + 5)/3

{ (x - a)^2 + y^2 = 4

2) 2 уравнение - это уравнение окружности с центром B(a; 0) и R = 2.

На рисунке показаны две окружности в крайних положениях.

Правая - окружность с центром (-7; 0), она проходит через A(-5; 0).

При a = -7 система имеет 3 решения.

Левая - это окружность, которая касается обоих лучей.

При этом (неизвестном) значении а = a0 система имеет 2 решения.

При a0 < a < -7  система имеет 4 решения, что нам и нужно.

Найдем это значение а = a0:

{ y = (x + 5)/3

{ y^2 = 4 - (x - a)^2

Возводим в квадрат 1 уравнение:

{ y^2 = (x + 5)^2/9 = (x^2 + 10x + 25)/9

{ y^2 = 4 - (x - a)^2

Приравниваем правые части:

(x^2 + 10x + 25)/9 = 4 - (x - a)^2

Нам нужно подобрать такое а, чтобы уравнение имело одно решение - точку касания между прямой и окружностью.

x^2 + 10x + 25 = 36 - 9(x^2 - 2ax + a^2)

x^2 + 10x + 25 = 36 - 9x^2 + 18ax - 9a^2

10x^2 + (10 - 18a)x + (9a^2 - 11) = 0

Так как уравнение имеет один корень, то D = 0

D = (10 - 18a)^2 - 4*10(9a^2 - 11) = 100 - 360a + 324a^2 - 360a^2 + 440 = 0

-36a^2 - 360a + 540 = 0

Делим всё на -36

a^2 + 10a - 15 = 0

D = 10^2 + 4*15 = 100 + 60 = 160 = (4√10)^2

a1 = (-10 - 4√10) / 2 = -5 - 2√10 ≈ -5 - 6,32 = -11,32 < -7 - подходит

a2 = (-10 + 4√10) / 2 = -5 + 2√10 ≈ -5 + 6,32 = 1,32 > -7 - не подходит.

Итак, мы получили:

При a0 < a < -7  система имеет 4 решения, что нам и нужно.

a0 = -5 - 2√10

Answer 2

Для того чтобы система уравнений имела 4 решения, уравнения должны пересекаться в точках, где |y| равно нулю. Поскольку уравнение (x-a)^2 + y^2 = 4 описывает окружность с радиусом 2 и центром в точке (a, 0), и уравнение x + 3|y| + 5 = 0 описывает линию, то чтобы они имели 4 пересекающиеся точки, линия должна пересекать окружность в четырёх точках.

Теперь давайте рассмотрим, когда линия x + 3|y| + 5 = 0 пересекает окружность (x-a)^2 + y^2 = 4 в четырёх точках.

Линия x + 3|y| + 5 = 0 может пересечь окружность следующим образом:

1. Линия пересекает окружность в двух точках на одной стороне от оси x (т.е., для положительных значений x).
2. Линия пересекает окружность в двух точках на другой стороне от оси x (т.е., для отрицательных значений x).

Для первого случая, у нас есть уравнение: x + 3|y| + 5 = 0, и уравнение окружности: (x-a)^2 + y^2 = 4.

Подставим y = 0 и решим уравнение x + 5 = 0: x = -5.

Таким образом, линия пересекает окружность в точке (-5, 0).

Для второго случая, у нас также есть уравнение: x + 3|y| + 5 = 0, и уравнение окружности: (x-a)^2 + y^2 = 4.

Подставим y = 0 и решим уравнение x + 5 = 0: x = -5.

Таким образом, линия также пересекает окружность в точке (-5, 0).

Итак, независимо от значения a, система уравнений всегда будет иметь только две общие точки (-5, 0) и (a, 0). Таким образом, нет значений a, при которых система уравнений имеет 4 решения.