Question

Ребята из класса численностью 10 человек посещают 4 кружка. Сколько существует возможных составов этих кружков

Answer 1

Ответ:

98304 способа составить данные кружки

Пошаговое объяснение:

Поскольку существует 4 кружка, значит в каждом из них минимум 1 человек. Берём любых четырёх человек и "расставляем" их по кружках. Это можно сделать 4! способами, то есть 4*3*2*1 = 24 способа.

Оставшихся 6 человек можно распределить таким способом: первый человек может пойти в каждый из 4 кружков, второй - также, в 4 кружка и т.д. Чтобы найти количество способов нужно 4 умножить саму на себя 6 раз:

${4}^{6} = 4096$

Чтобы найти количество вариантов вместе с первыми 4 людьми, нужно 24 умножить на 4096

24 * 4096 = 98304

Answer 2

Для решения этой задачи используем сочетания с повторением.

Каждый человек из класса может принадлежать одному из 4 кружков. Поскольку важно только количество членов в кружке, а не их конкретные имена или личности, это сочетания с повторением.

Обозначим количество членов в каждом из 4 кружков как $x_1, x_2, x_3, x_4$, где $x_1, x_2, x_3, x_4 \geq 0$ и $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 10$.

Используя формулу сочетаний с повторениями, количество способов распределить 10 человек по 4 кружкам будет:

$C(10 + 4 - 1, 4 - 1) = C(13, 3)$

$C(13, 3) = \frac{13!}{3! \times (13 - 3)!} = \frac{13!}{3! \times 10!} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286$

Итак, существует 286 возможных составов этих кружков.