Question

Із вершини В рівнобедреного трикутника АВС (АВ=ВС) до його площини проведено перпендикуляр ВМ. Точка К – середина АС. Знайдіть довжину відрізка МК, якщо відстань МС дорівнює 20 см, а ےСМК= 60о .

Answer 1

Відповідь:

10 см

Покрокове пояснення:

трикутник АВС, ВМ перпендикулярно площині АВС, кут СМК=60, МС=20, АК=КС, проводимо висоту ВК=медіані =бісектрисі, згідно теореми про 3 перпендикуляри МК перпендикулярно АС, кут МКС=90, трикутник МКС прямокутний, тоді кут МСК=90-кут СМК=90-60=30, МК=1/2МС=20/2=10

Answer 2

Для знаходження довжини відрізка МК спершу розглянемо трикутник МСК.

Ми вже знаємо, що МС дорівнює 20 см, і маємо величину кута СМК, який дорівнює 60 градусів. Також, ми знаємо, що відрізок МК є медіаною в трикутнику АС (так як К - середина АС), тому ми можемо використовувати теорему косинусів для знаходження довжини відрізка МК.

За теоремою косинусів:

$MK^2 = MS^2 + SK^2 - 2 \cdot MS \cdot SK \cdot \cos(\angle MSK).$

Підставимо відомі значення:

$MK^2 = 20^2 + SK^2 - 2 \cdot 20 \cdot SK \cdot \cos(60°).$

Спростимо це вираз:

$MK^2 = 400 + SK^2 - 20 \cdot SK.$

Тепер ми повинні знайти довжину відрізка SK. Оскільки К - середина АС, то SK дорівнює половині довжини АС. Оскільки ми не знаємо довжину АС, ми можемо позначити його за якусь змінну, наприклад, x.

Отже, SK = 0.5x.

Підставимо це значення в наш вираз для MK:

$MK^2 = 400 + (0.5x)^2 - 20 \cdot 0.5x.$

Розкриємо дужки і спростимо вираз:

$MK^2 = 400 + 0.25x^2 - 10x.$

Тепер ми маємо квадратичне рівняння відносно MK^2. Ми також знаємо, що квадрат довжини відрізка MK не може бути від'ємним, тому розв'язком цього рівняння буде:

$MK^2 = 400 + 0.25x^2 - 10x \geq 0.$

Для знаходження розв'язку цього нерівності, спростимо її:

$0.25x^2 - 10x + 400 \geq 0.$

Тепер ми можемо використовувати квадратичну формулу для знаходження розв'язків цього рівняння:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$

У нашому випадку a = 0.25, b = -10, і c = 400. Підставимо ці значення:

$x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 0.25 \cdot 400}}{2 \cdot 0.25}.$

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 400}}{0.5}.$

$x = \frac{10 \pm \sqrt{-300}}{0.5}.$

Так як під коренем у нас від'ємне число, то ця нерівність не має розв'язків у дійсних числах, і отже, MK^2 завжди більше або дорівнює 0.

Отже, довжина відрізка MK може бути будь-якою додатною числовою величиною або дорівнювати нулю, але не може бути від'ємною.