Question

Обчислити площу фігури, що обмежена лініями: ух=3, у=3 і х=3

Answer 1

Ответ:

Площадь фигуры равна $3\dfrac{1}{3}$  кв. ед.

Пошаговое объяснение:

Вычислить площадь фигуру, ограниченную линиями

$yx=3,y=3,x=3$

Выполним рисунок

$yx=3;\\\\y=\dfrac{3}{x}$

Данная функция является обратной пропорциональностью и графиком данной функции является гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей четвертях.

Графиком $y=3$ является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0; 3)

Графиком $x=3$ является прямая, параллельная оси ординат и проходящая через точку (3; 0)

Найдем абсциссу точки пересечения графика функции  $y=\dfrac{3}{x}$  и

$y=3$ , решив уравнение:

$\dfrac{3}{x}=3|\cdot x\neq 0;\\\\3=3x;\\x=3:3;\\x=1$

Рисунок во вложении. Фигура, площадь которой надо определить выделена голубым цветом. Эта фигура не является криволинейной трапецией, поэтому площадь фигуры найдем

$S= \int \limits ^3_1 {(f{_1}(x)- f{_2}(x))} \, dx$

$f{_1}(x) = 3;\\\\f{_2}(x) =\dfrac{3}{x}$

$S= \int\limits^3_1 {\left(3-\dfrac{3}{x} \right)} \, dx =\left(3x+\dfrac{3}{x^{2} }\right ) \bigg|^3_1 =\left(3\cdot3+\dfrac{3}{3^{2} }\right )-\left(3\cdot1 +\dfrac{3}{1^{2} } \right)=\\\\=9+\dfrac{3}{9} -3-3=3+\dfrac{1}{3} =3\dfrac{1}{3}$

Значит, площадь фигуры равна $3\dfrac{1}{3}$  кв. ед.

#SPJ1

Answer 2

Фігура, обмежена лініями $y = 3$, $x = 3$ і $y = x$, утворює прямокутник і трикутник. Знайдемо площу кожної частини окремо і потім додамо їх разом.

1. Прямокутник:

   • Ширина прямокутника - від $x = 0$ до $x = 3$ (так як $y = 3$).
   • Довжина прямокутника - від $y = 0$ до $y = 3$.

   Площа прямокутника $S_{\text{прямокутника}}$: $S_{\text{прямокутника}} = \text{ширина} \times \text{довжина}$

   $S_{\text{прямокутника}} = 3 \times 3$

2. Трикутник:

   • Одна сторона трикутника - від $x = 0$ до $x = 3$ (так як $y = x$).
   • Інша сторона трикутника - від $y = 0$ до $y = 3$.

   Площа трикутника $S_{\text{трикутника}}$: $S_{\text{трикутника}} = \frac{1}{2} \times \text{основа} \times \text{висота}$

   $S_{\text{трикутника}} = \frac{1}{2} \times 3 \times 3$

Тепер додамо площі прямокутника і трикутника:

$S_{\text{фігури}} = S_{\text{прямокутника}} + S_{\text{трикутника}}$

$S_{\text{фігури}} = 9 + \frac{1}{2} \times 3 \times 3$

$S_{\text{фігури}} = 9 + \frac{9}{2}$

$S_{\text{фігури}} = \frac{27}{2}$

Отже, площа фігури, обмеженої лініями $y = 3$, $x = 3$ і $y = x$, дорівнює $\frac{27}{2}$ або 13.5 квадратних одиниць.