Question

Обчислити площу фігури яка обмежена лініями y=9-x^2 y=x^2-6x+9

Answer 1

Ответ:

$y=9-x^2\ \ ,\ \ y=x^2-6x+9=(x-3)^2\\\\\\Tochki\ peresecheniya:\ \ 9-x^2=(x-3)^2\ \ ,\ \ (3-x)(3+x)=(3-x)^2 \ ,\\\\(3-x)(3+x-(3-x))=0\ \ ,\ \ (3-x)\cdot 2x=0\ \ ,\ \ x_1=0\ ,\ x_2=3\\\\\\S=\int\limits_0^3\, (9-x^2-x^2+6x-9)\, dx=\int\limits_0^3\, (-2x^2+6x)\, dx=\Big(-2\cdot \dfrac{x^3}{3}+6\cdot \dfrac{x^2}{2}\Big)\Big|_0^3=\\\\\\=-\dfrac{2}{3}\cdot 3^3+3\cdot 3^2=27-18=9$

Answer 2

Ответ:

решение на фотографии.

Answer 3

Щоб обчислити площу фігури, яка обмежена лініями y = 9 - x^2 та y = x^2 - 6x + 9, потрібно знайти точки їх перетину та обчислити інтеграл від однієї функції до іншої відповідно до координати x. Площа фігури буде різницею цих інтегралів.

1. Знайдіть точки перетину обох ліній. Підставте y = 9 - x^2 у рівняння y = x^2 - 6x + 9 та розв'яжіть для x:

9 - x^2 = x^2 - 6x + 9

Спростіть це рівняння:

2x^2 - 6x = 0

Факторизуйте:

2x(x - 3) = 0

Звідси маємо дві можливі точки перетину:

a) x = 0 b) x = 3

2. Тепер, обчисліть інтеграл від меншої функції до більшої функції на інтервалі від x = 0 до x = 3.

Для обчислення інтегралу використовуйте формулу:

Площа = ∫[0, 3] (велика функція - маленька функція) dx

Площа = ∫[0, 3] [(9 - x^2) - (x^2 - 6x + 9)] dx

Площа = ∫[0, 3] [9 - x^2 - x^2 + 6x - 9] dx

Площа = ∫[0, 3] [-2x^2 + 6x] dx

Тепер обчисліть цей інтеграл:

Площа = [-2/3 * x^3 + 3x^2] від 0 до 3

Площа = (-2/3 * 3^3 + 3 * 3^2) - (-2/3 * 0^3 + 3 * 0^2)

Площа = (-18 + 27) - (0) = 9

Отже, площа фігури, обмеженої лініями y = 9 - x^2 та y = x^2 - 6x + 9 на інтервалі [0, 3], дорівнює 9 квадратними одиницями.