Question

В основі конуса проведено хорду, яка дорівнює радіусу основи і віддалена від її центра на 12 см. Через вершину конуса та цю хорду проведено площину, яка утворює з площиною основи кут 60°. Знайдіть об'єм конуса.​

Answer 1

Відповідь: фото

Покрокове пояснення:

Answer 2

Давайте розглянемо цю задачу крок за кроком.

1. Оскільки хорда дорівнює радіусу основи і віддалена від центра основи на 12 см, то ми можемо визначити радіус конуса. Позначимо радіус конуса як "r". За умовою задачі:

   r = 12 см

2. Також нам відомо, що площина, проведена через вершину конуса та цю хорду, утворює з площиною основи кут 60°. Це означає, що висота конуса, проведена з вершини конуса до основи, утворює з основою кут 60°. Ми можемо розглядати цю висоту як відомий катет прямокутного трикутника, а радіус основи конуса - як відому сторону прямокутного трикутника.

3. Знаючи, що сторона прямокутного трикутника (радіус основи) дорівнює 12 см, і кут між цією стороною та висотою конуса дорівнює 60°, ми можемо використовувати тригонометричні функції для знаходження висоти. Використаємо тригонометричну функцію синуса:

   $\sin(60^\circ) = \frac{h}{r}$

   Де $h$ - висота конуса.

   $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{12}$

   Розв'яжемо це рівняння для $h$:

   $h = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см

4. Тепер ми маємо відомий радіус і відому висоту конуса, тому ми можемо знайти об'єм конуса за формулою:

   $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

   Підставляючи значення радіусу $r = 12$ см і висоти $h = 6\sqrt{3}$ см, ми отримаємо:

   $V = \frac{1}{3} \pi \cdot (12\,см)^2 \cdot (6\sqrt{3}\,см) = \frac{1}{3} \pi \cdot 144\,см^2 \cdot 6\sqrt{3}\,см$

5. Вирахуємо об'єм:

   $V \approx 2592\sqrt{3} \pi\,см^3$

Отже, об'єм конуса приблизно дорівнює $2592\sqrt{3} \pi\,см^3$.