Question

Скласти рівняння дотичної до графіка функціїf(x)= x²-5x, якщо дотична паралельна прямій у= 3х+1​

Answer 1

Щоб знайти рівняння дотичної до графіка функції f(x) = x² - 5x, яка паралельна прямій у = 3х + 1, ми повинні визначити похідну функції f(x) та знайти її значення у точці, де дотична має доторкатися до графіка функції.

Для пошуку похідної функції спочатку застосуємо правило диференціювання степеневої функції:

f'(x) = 2x - 5

Тепер ми можемо знайти точку, у якій дотична доторкається до графіка функції. Якщо дотична паралельна прямій у = 3х + 1, то її нахил також буде дорівнювати 3.

Отже, ми шукаємо точку (х₀, у₀), у якій значення похідної дорівнює 3:

2х₀ - 5 = 3

2х₀ = 8

х₀ = 4

Тепер ми можемо знайти відповідне значення y, підставивши x₀ у функцію f(x):

у₀ = f(4) = 4² - 5 · 4 = -4

Таким чином, точка, у якій дотична доторкається до графіка функції, має координати (4, -4).

Рівняння дотичної можна записати у вигляді:

у - у₀ = f'(х₀) · (x - х₀)

Підставляючи відповідні значення, ми отримуємо:

у - (-4) = 3 · (x - 4)

у = 3x - 16

Таким чином, рівняння дотичної до графіка функції f(x) = x² - 5x, яка паралельна прямій у = 3х + 1, є у = 3x - 16.

Answer 2

Щоб скласти рівняння дотичної до графіка функції $f(x) = x^2 - 5x$ у точці $x = a$ таке, щоб дотична була паралельна прямій $y = 3x + 1$, спочатку знайдемо похідну функції $f(x)$:

$f'(x) = 2x - 5.$

Тепер ми знаємо, що нахил дотичної до графіка функції $f(x)$ у точці $x = a$ буде рівний $f'(a)$. Так як дотична паралельна прямій $y = 3x + 1$, то її нахил також буде $3$.

Отже, ми маємо $f'(a) = 3$, що дає рівняння:

$2a - 5 = 3.$

Розв'язуємо це рівняння для $a$:

$2a = 3 + 5$ $2a = 8$ $a = 4.$

Тепер ми знаємо точку $x = a$ (тобто $x = 4$), в якій ми хочемо знайти дотичну. Знайдемо відповідне значення $y$ для цієї точки, використовуючи функцію $f(x)$:

$f(4) = 4^2 - 5 \times 4 = 16 - 20 = -4.$

Отже, точка, в якій ми шукаємо дотичну, є $(4, -4)$. Тепер ми можемо скласти рівняння дотичної до графіка функції $f(x)$ у цій точці:

Використовуючи формулу для рівняння прямої $y = mx + b$, де $m$ - нахил прямої, а $b$ - зсув по осі $y$, ми маємо:

$y = f'(a) \cdot (x - a) + f(a).$

Підставляючи значення, ми отримаємо:

$y = 3(x - 4) - 4.$

Розкривши дужки:

$y = 3x - 12 - 4$ $y = 3x - 16.$

Це є рівняння дотичної до графіка функції $f(x)$ у точці $x = 4$ та паралельної прямій $y = 3x + 1$.